O crescimento gnomónico
Todos nós já reparámos que a concha de qualquer molusco pequeno é idêntica à concha de um molusco grande da mesma espécie, com excepção do tamanho. Uma é um modelo exacto, à escala, da outra.
As conchas, com a sua forma auto-semelhante, podem ser representadas por superfícies tridimensionais,
geradas por uma fórmula relativamente simples, com alguns parâmetros livres. Maravilhosamente, apesar da simplicidade dessas equações, é possível gerar uma grande variedade de tipos diferentes de conchas. Quais?
Todos eles! (com muito poucas excepções: algumas espécies vivas e fósseis de Vermicularia
e amonitas fósseis do género Didymoceras.)
Isto mostra como muitas das formas que surgem na natureza são simples consequência da aplicação de geometria tridimensional a regras
de crescimento básicas.
O molusco não alarga a sua concha de modo uniforme: adiciona somente material numa das extremidades da concha (a extremidade aberta ou "de crescimento"); e fá-lo de maneira a que a nova concha seja sempre um modelo exacto, à escala, da concha mais pequena.
Estas condicionantes juntas têm uma consequência matemática: quase todas as conchas seguem um modelo de crescimento baseado numa espiral equiangular:
A superfície da concha é uma superfície tridimensional que pode ser vista como o resultado do deslocamento de uma curva C (a curva geratriz, que habitualmente é uma elipse) ao longo de
uma espiral helicoidal H (a curva estrutural);
o tamanho da curva C vai aumentando à medida que se desloca sobre H:
A forma de C descreve o perfil das secções da concha e da abertura da concha enquanto H determina a forma global da concha. Nem sempre C é uma elipse. É o caso da maravilha japonesa
que é gerada por uma curva triangular.
Porquê H é uma espiral logaritmica helicoidal? Basicamente porque o molusco não alarga a sua concha de modo uniforme: adiciona somente material numa das extremidades da concha. Uma versão bidimensional deste fenómeno pode ser observado no crescimento dos cornos dos animais. Essencialmente é uma versão tridimensional deste fenómeno que conduz às estruturas em espiral das conchas dos moluscos.
Veja aqui uma explicação mais precisa.
Os exemplos seguintes mostram três dos casos que podem acontecer. O primeiro exemplo é típico da concha dos náutilos, o segundo de um cone e o terceiro de metade da concha de um bivalve (ameijoa). Em cada caso o material novo da concha é progressivamente acrescentado na abertura da concha.
Os efeitos de variação de alguns dos parâmetros de crescimento das conchas podem ser observados nas figuras seguintes, onde se conclui que, com o mesmo modelo, todo o tipo de formas geométricas de conchas
pode ser produzido.
Variando o factor pela qual o tamanho da concha aumenta em cada revolução (por ordem crescente, da esquerda para a direita):
Variando a quantidade relativa pela qual a abertura da concha é deslocada para baixo (na espiral) em cada revolução (por ordem crescente, da esquerda para a direita):
Variando o tamanho da abertura relativamente ao tamanho total da concha (por ordem crescente, da esquerda para a direita):
Variando o alongamento da abertura (por ordem crescente, da esquerda para a direita):
Variando a orientação desse alongamento (da posição vertical até à horizontal, da esquerda para a direita):
