Redução de uma quádrica (exemplo dos apontamentos, p. 93)

Quádrica  3/2 y² + 3/2 z² + 1/2 yz - 5sqrt(2) x + sqrt(2) y + 3z = 7

>	with( plots ):

>	with(linalg):

>	implicitplot3d( 3/2*y^2+3/2*z^2+1/2*y*z-5*sqrt(2)*x+sqrt(2)*y+3*z=7, x=-10..10, y=-8..8, z=-10..10, grid=[20,20,20], axes=normal );

Matriz A da quádrica:

>	A := array([[0,0,0],[0,3/2,1/2],[0,1/2,3/2]]);

1º Passo: Diagonalização da matriz A:

>	Atil := array([[1,0,0],[0,2,0],[0,0,0]]);

Matriz P de diagonalização (corresponde a uma rotação em R³):

>	P := array([[0,0,1],[-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0],[sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0]]);

Efeito de P nos termos de grau 1:

>	B := array([[3,-5*sqrt(2),sqrt(2)]]);

>	Btil := evalm(B &* P);

Com a rotação P obtem-se a quádrica x² + 2y² + 6x - 4y + 3z = 7:

>	implicitplot3d( x^2+2*y^2+6*x-4*y+3*z=7, x=-10..10, y=-8..8, z=-10..10,grid=[20,20,20], axes=normal );

2º Passo: translação associada ao vector (3,-1,0) + (0,0,-6) = (3,-1,-6). Obtemos a quádrica x² + 2 y² = -3z:

>	implicitplot3d( x^2+2*y^2=-3*z, x=-10..10, y=-8..8, z=-10..10, grid=[20,20,20], axes=normal );

3º Passo: rotação de 180º em torno do eixo OX: (x,y,z) --> (x,-y,-z). Obtemos a quádrica 1/3 x² + 2/3 y² = z:

>	implicitplot3d( 1/3*x^2+2/3*y^2=z, x=-10..10, y=-8..8, z=-10..10, grid=[20,20,20], axes=normal );

Conclusão: A quádrica inicial 3/2 y² + 3/2 z² + 1/2 yz - 5sqrt(2) x + sqrt(2) y + 3z = 7 reduz-se, por um movimento rígido de R³ (rotação P + translação (3,-1,-6) + rotação 180º), ao parabolóide elíptico x²/3 + y²/(3/2) = z de eixos sqrt(3) e sqrt(3/2).