O método de indução
Depois de descoberta uma identidade matemática para alguns números naturais (como nos exemplos que apresentámos nestas páginas), um bom método para confirmar (demonstrar) a veracidade dessa identidade para todos os números naturais é o chamado método de indução matemática.
Suponhamos, por exemplo, que pretendemos averiguar da veracidade da identidade
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2,
para todo o número natural n.
Designemos esta identidade por P (n). Devemos começar por demonstrar a veracidade de P (1), o que neste caso é óbvio: 1 = 12.
De seguida, supomos que a identidade é válida para um natural n-1:
1 + 3 + 5
+ ... + (2(n - 1) -1) = (n - 1)2 
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 3) = (n - 1)2.
Bastará então mostrar que P (n) também é válida. No exemplo que estamos a considerar tal acontece, uma vez que
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 3) + (2n - 1) = (n - 1)2 + (2n - 1) = n 2 - 2n + 1 + 2n - 1 = n 2,
onde a segunda igualdade é justificada pela veracidade de P (n - 1).
Isto significa que, sendo P (1) verdadeira, também P (2) é verdadeira. Usando este mesmo argumento sucessivamente (para n = 3, 4, 5, ...), garantimos que P (n) é verdadeira para todo o valor natural n.
P
(1) |
 |
P
(2) |
|
P
(3) |
|
P
(4) |
|
... |
(n=2) |
(n=3) |
(n=4) |
(n=5) |
Resumindo, o método de indução segue os seguintes passos:
1. Mostrar a veracidade de P (1);
2.
Mostrar que P (n -
1) P (n)
para qualquer natural n.
Vejamos agora um outro exemplo:
Q (n): 1 + 8 + 16 + 24 + ... + 8 n = (2n +1)2
1. Q (1) é verdadeiro uma vez que (1 + 8) = (2 x 1 + 1)2;
2. Suponhamos que Q (n - 1) é verdadeiro, ou seja, que se verifica
1 + 8 + 16 + 24 + ... + 8 (n-1) = (2n -1)2.
Então
1 + 8 + 16 + 24 + ... + 8 (n - 1) + 8 n = (2n - 1)2 + 8 n = 4 n2 - 4 n + 1 + 8 n = 4 n2 + 4 n + 1 = (2n + 1)2,
o que significa
que Q (n - 1)
Q (n) e, portanto,
a afirmação Q
(n) é válida para todo o valor natural n.