GEOMETRIA DIFERENCIAL

2006/07

2º Semestre, 2º Ano
Licenciaturas em Matemática e Engenharia Geográfica

Novidades:
(19/9/07) Notas do exame de recurso.
(31/7/07) Notas da prova complementar.
(21/7/07) Estarei ausente no estrangeiro durante a próxima semana (23-28 de Julho). A prova complementar realizar-se-à no dia 30 de Julho (segunda-feira) às 14.30, na Sala 2.4.
(21/7/07) Notas do exame de recurso. As provas poderão ser consultadas no dia 30 de Julho (no gabinete, às 12h, ou durante a prova complementar).
(20/7/07) Soluções do exame de recurso.
(20/7/07) Enunciado do exame de recurso.
(08/7/07) Notas do exame. As provas poderão ser consultadas na próxima terça-feira, no horário de atendimento no gabinete, das 11h00m às 12h30m.
(06/7/07) Soluções do exame.
(05/7/07) Enunciado do exame.
(25/6/07) Horário de atendimento aos alunos durante a época de exames: Terças 11.00-12.30, Quintas 11.00-12.30.
(24/6/07) Visualização de curvas e superfícies [projecto ATRACTOR].
(16/6/07) Estarei ausente num congresso durante a próxima semana (17-23 de Junho).
(04/6/07) Classificação dos pontos do toro (Exercício 6.7).
(28/5/07) Inscrições para exames (Recursos Lectivos).
(24/5/07) A não-orientabilidade da fita de Moebius [projecto ATRACTOR].
(22/5/07) Notas dos testes.
(15/5/07) Enunciado e soluções do teste nº 3.
(04/5/07) Estarei ausente no estrangeiro durante a próxima semana (6-13 de Maio). Terei disponibilidade para esclarecer dúvidas para o teste no dia 14, da parte da manhã.
(01/5/07) Notas dos testes.
(23/4/07) Veja mais exemplos de superfícies (aula de hoje) em Conchas marinhas: a simplicidade e beleza da sua descrição matemática.
(12/4/07) Enunciado e soluções do teste nº 2.
(03/4/07) O teste do dia 12 de Abril realizar-se-á durante a aula prática.
(29/3/07) Hoje, da parte da tarde, não terei disponibilidade para atender alunos. O horário de atendimento fica adiado para a próxima segunda-feira.
(09/3/07) Notas dos testes.
(05/3/07) Soluções do teste nº 1.
(05/3/07) Enunciado do teste nº 1.
(01/3/07) O teste do dia 5 de Março realizar-se-á durante a aula prática.
(20/2/07) Datas dos testes: 5 de Março, 12 de Abril, 14 de Maio.
(12/2/07) Veja a curvatura, a torsão e o triedro de Frenet-Serret no Projecto Atractor.
(10/2/07) As aulas começam na próxima segunda-feira. As aulas teóricas decorrerão na Sala 2.5.

Docentes

	Jorge Picado
	Gabinete: 6.5
	Horário de Atendimento: Quinta-feira (9.00-10.30, 17.30-19.00)*
	telef.: 239791155
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (por e-mail ou no final da aula)

Programa

I- Curvas em R³.
   1- Preliminares.
   2- O que é uma curva?: 
      Curvas de nível e curvas parametrizadas. 
      Curvas regulares.
      Comprimento de arco e parametrização 
      por comprimento de arco.
   3- Curvatura e torsão. Triedro de Frenet-Serret. 
      Fórmulas de Frenet-Serret.
   4- Curvas planas.
   5- Teorema Fundamental das Curvas.
   6- Algumas classes especiais de curvas.
   
II- Superfícies em R³.
   1- Preliminares.
   2- O que é uma superfície?: 
      Definição e exemplos. Mudança de parâmetros. 
      Aplicações diferenciáveis entre superfícies.
   3- Tangentes e normais. Orientabilidade.
   4- Algumas classes especiais de superfícies: 
      Superfícies de revolução, superfícies quádricas, 
      cilindros e cones generalizados, superfícies regradas.	
   5- Primeira forma fundamental. 
      Isometrias, aplicações equiareais e conformais.
      Aplicações ao cálculo de áreas, comprimentos e ângulos.
   6- A aplicação de Gauss e a segunda forma fundamental.
   7- O Teorema Egregium de Gauss.

Resumo: Em Geometria Diferencial estudam-se objectos de natureza geométrica --- curvas e superfícies --- usando as técnicas do cálculo diferencial e integral. A geometria diferencial clássica engloba o estudo das propriedades das curvas e superfícies no espaço euclidiano. Tem as suas origens no século XIX, com os primórdios da Análise, e nela se estudam as propriedades locais, isto é, aquelas que dependem somente do comportamento da curva ou superfície na vizinhança de um ponto. Por isso é usual chamar-lhe teoria local de curvas e superfícies. A geometria diferencial moderna estuda a influência das propriedades locais no comportamento de toda a curva ou superfície (teoria global de curvas e superfícies) e estende o estudo aos espaços não euclidianos e variedades de qualquer dimensão, baseando-se ainda, no entanto, nos métodos do cálculo diferencial e integral.
Neste curso abordamos os temas clássicos da geometria diferencial: curvas e superfícies no espaço. Estudamos assim resultados obtidos na sua quase totalidade no século XIX. Curvas e superfícies são objectos que qualquer pessoa pode ver, e muitas das questões que podem ser levantadas sobre estes objectos são óbvias e naturais. A geometria diferencial preocupa-se com a formulação matemática de algumas dessas questões e em tentar encontrar respostas para elas, usando as técnicas do cálculo diferencial. Num primeiro capítulo dedicamo-nos ao estudo das curvas. Num segundo (e último) capítulo estudamos a teoria local das superfícies, cuja génese se deve a Gauss com o seu famoso trabalho Disquisitiones generales circa superficies curvas (Comm. Soc. Gottingen Bd 6, 1823-1827). Tentamos seguir sempre a abordagem mais directa e simples a cada resultado, mantendo sempre os pré-requisitos no mínimo possível. Esta parece-nos ser a abordagem certa para um primeiro estudo da geometria diferencial, motivando os conceitos e os problemas e fundamentando a intuição.

Bibliografia

J. Picado, Apontamentos de Geometria Diferencial, 2006.

A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRC Press, 1993 (53-01/GRA).
O. Neto, Tópicos de Geometria, Universidade Aberta, 1999 (51N/NET).
A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer-Verlag, 2001 (53-01/PRE).

M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976 (53C/CAR).
W. Kuhnel, Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds, AMS, 2002 (53-01/KUH).

Avaliação

Da avaliação constam: 1. 3 testes 2. exame final 3. prova complementar Todos os alunos poderão participar nos testes, que se realizarão durante a aula teórico-prática. Cotação de cada teste: 1,5 valores. Cotação do exame: 20 valores. Nota final = max{ (15,5 / 20) nota exame + nota testes , nota exame } (arredondada às unidades)*

* Defesa de nota, através de prova complementar, para os alunos que obtenham nota final superior a 16. Datas dos testes: Primeiro teste: 5 de Março Segundo teste: 12 de Abril Terceiro teste: 14 de Maio Datas dos exames: Época normal: 5 de Julho de 2007 às 14.30 horas Época de recurso: 20 de Julho de 2007 às 14.30 horas.