Aula nº 1 Dia: 12/2/07 Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação. Breves notas históricas. I - CURVAS EM R3 1. PRELIMINARES: O espaço euclidiano Rn. Funções vectoriais de variável real.
Aula nº 2 Dia: 15/2/07 2. O QUE É UMA CURVA?: curvas de nível e curvas parametrizadas. Exemplos. Resolução dos Exercícios 2.1 (a) e (b), 2.2 e 2.3 (a) e (c). Curvas suaves. Vector e recta tangentes a uma curva.
Aula nº 3 Dia: 19/2/07 Comprimento de arco. Resolução dos Exercícios 2.13 (a) e 2.12. Curvas parametrizadas por comprimento de arco. Propriedades das curvas parametrizadas por comprimento de arco. Mudança de parâmetro e reparametrização. Propriedades das mudanças de parâmetro. Exemplos.
Aula nº 4 Dia: 22/2/07 O comprimento de uma curva é uma propriedade geométrica (ou seja, não depende da parametrização). Curvas regulares. Existência de reparametrizações por comprimento de arco de qualquer curva regular. Exercício 2.23(a). Análise das dificuldades que poderão surgir aquando da determinação prática dessas reparametrizações.
Aula nº 5 Dia: 26/2/07 Determinação de todas as reparametrizações por comprimento de arco de qualquer curva regular. 3. CURVATURA E TORSÃO. TRIEDRO DE FRENET-SERRET: Motivação para a definição de curvatura. Curvatura de uma curva parametrizada por comprimento de arco - casos da recta, circunferência e hélices. Resolução do Exercício 3.5. Curvas cuja curvatura se anula num intervalo do seu domínio. Curvatura de uma curva genérica. Definição do triedro de Frenet-Serret para curvas parametrizadas por comprimento de arco. Conclusão de que se trata de uma base ortonormada de R3. Rectas tangente, normal principal e binormal de uma curva. Planos normal, osculador e rectificante de uma curva.
Aula nº 6 Dia: 5/3/07 Torsão: caso em que a curva está parametrizada por comprimento de arco e caso geral. Exercício 3.5 Significado geométrico da torsão ser nula: a curva está contida no plano osculador em qualquer um dos seus pontos. Fórmulas de Frenet-Serret.
Aula nº 7 Dia: 8/3/07 Definição do triedro de Frenet-Serret (caso geral). Fórmulas de Frenet-Serret (caso geral). Caracterização das curvas planas com curvatura constante. 4. CURVAS PLANAS: Vector normal com sinal. Curvatura com sinal.
Aula nº 8 Dia: 12/3/07 Interpretação geométrica da curvatura com sinal. Dedução de fórmulas para o cálculo da curvatura com sinal. Exercícios 3.3, 4.3 e 4.4. Movimentos rígidos em R2: rotações e translações. Teorema fundamental das curvas planas.
Aula nº 9 Dia: 15/3/07 Observações sobre a demonstração do teorema fundamental das curvas planas. Exemplo: a espiral de Cornu. Exercício 4.6 (a). Mais exemplos no computador, usando o programa Mathematica e alguns aplicativos do Atractor.
Aula nº 10 Dia: 19/3/07 5. TEOREMA FUNDAMENTAL DAS CURVAS: Exercício 5.1. Demonstração do teorema. Exemplos (usando o programa Mathematica e alguns aplicativos do Atractor).
Aula nº 11 Dia: 22/3/07 6. HÉLICES GENERALIZADAS: Definição. Exemplos. Caracterização das hélices generalizadas em termos da torsão e da curvatura (Teorema de Lancret). Determinação do eixo de uma hélice generalizada.
Aula nº 12 Dia: 26/03/07 Caracterização das curvas esféricas em termos da torsão e da curvatura. Determinação do centro e raio da esfera respectiva. Exercício 5.2.
Aula nº 13 Dia: 29/3/07 II - SUPERFÍCIES EM R3 1. PRELIMINARES: O espaço métrico Rn. Continuidade e diferenciabilidade em Rn 2. O QUE É UMA SUPERFÍCIE?: Motivação. Definição e exemplos de superfícies (1,2,3,4,5). Atlas da esfera em termos das coordenadas cartesianas. Prova de que a esfera é uma superfície. Exercício 2.2.
Aula nº 14 Dia: 12/4/07 O número mínimo de parametrizações possível é dois: atlas da esfera em termos das coordenadas geográficas (latitude e longitude). Coordenadas esféricas (azimute e zénite). Outro atlas da esfera: projecções estereográficas. Resolução do Exercício 2.3.
Aula nº 15 Dia: 16/4/07 Mais exemplos de superfícies: gráficos de funções f:U®R (U=aberto de R2). O parabolóide elíptico e o parabolóide hiperbólico. Superfícies de nível. Valor regular de f:U®R (U=aberto de R3). A imagem inversa por f:U®R (U=aberto de R3) de um valor regular é uma superfície. Exemplos: elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, toro. Exercício 2.11. Mais um exemplo: se removermos o vértice do cone duplo obtemos uma superfície. Demonstração de que o cone duplo não é uma superfície.
Aula nº 16 Dia: 19/4/07 Mudança de coordenadas de um mapa para outro, num atlas. A composição de uma mudança de coordenadas com um mapa ainda é um mapa. Reparametrizações.
Aula nº 17 Dia: 23/4/07 3. ALGUMAS CLASSES ESPECIAIS DE SUPERFÍCIES. Quádricas: Quais são superfícies. Cilindros generalizados e cones generalizados. Tubos e conchas. Superfícies regradas. Superfícies de revolução.
Aula nº 18 Dia: 26/4/07 4. TANGENTES E NORMAIS. ORIENTABILIDADE Curva numa superfície S. Vector tangente a uma superfície num ponto. Determinação do espaço vectorial tangente a uma superfície num ponto. Plano tangente a uma superfície num ponto. Vectores normais unitários. Normal unitária standard.
Aula nº 19 Dia: 30/4/07 Superfícies orientáveis. Orientação de uma superfície. Exemplos de superfícies orientáveis. Estudo do caso particular em que S é dada pela imagem inversa por f:U®R (U=aberto de R3) de um valor regular de f. Exemplo de superfície não orientável: a fita de Möbius. 5. PRIMEIRA FORMA FUNDAMENTAL: Primeira forma fundamental de uma superfície num ponto. Exemplos. Determinação do comprimento de uma curva contida na superfície.
Aula nº 20 Dia: 3/5/07 Enumeração de diversos problemas métricos que podem ser resolvidos a partir do conhecimento da primeira forma fundamental. Difeomorfismos. Isometrias. Caracterização das isometrias em termos da primeira forma fundamental. Exemplos de isometrias. Determinação do ângulo de intersecção de duas curvas numa superfície.
Aula nº 21 Dia: 14/5/07 Aplicações conformais. Caracterização das aplicações conformais em termos da primeira forma fundamental. Exemplos. Determinação de áreas de regiões contidas numa superfície. Aplicações equiareais. Caracterização em termos da primeira forma fundamental.
Aula nº 22 Dia: 17/5/07 Cálculo da área de uma esfera e da área de um fuso. Teorema de Arquimedes. Aplicação da projecção de Arquimedes ao cálculo da área de um fuso na esfera. 6. A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL E A APLICAÇÃO DE GAUSS: Derivada de uma função f:S1®S2 entre superfícies.
Aula nº 23 Dia: 21/5/07 A aplicação de Gauss G:S®S2. Exemplos. Propriedades da sua derivada G*p. Curvaturas principais e direcções principais de uma superfície num ponto.
Aula nº 24 Dia: 24/5/07 Segunda forma fundamental de uma superfície. Curvaturas gaussiana e média de uma superfície num ponto. Determinação das curvaturas gaussiana e média de uma superfície num ponto a partir do conhecimento de uma sua parametrização. Exemplos. Natureza dos pontos de uma superfície: elípticos, hiperbólicos, parabólicos ou planares.
Aula nº 25 Dia: 28/5/07 Determinação das curvaturas principais a partir da curvatura gaussiana e da curvatura média. Exemplos. Exercício 6.2(b).
Aula nº 26 Dia: 31/5/07 Curvatura normal e curvatura geodésica de uma curva numa superfície. Lema de Meusnier. Relação entre as curvaturas normais e as curvaturas principais. Teorema de Euler.
Aula nº 27 Dia: 4/6/07 Descrição da geometria da superfície numa vizinhança de p, de acordo com a natureza de p Exercício 6.7. Superfícies minimais. Ilustração de alguns conceitos estudados neste último capítulo, com a ajuda do computador.