Aula nº1 Dia: 25/2/02
Apresentação do curso. I-Conjuntos parcialmente ordenados 1. Definições básicas: Conjuntos pré-ordenados e conjuntos parcialmente ordenados. Aplicações monótonas. A categoria dos conjuntos parcialmente ordenados. Imersões e isomorfismos. Produtos. Conjuntos descendentes e conjuntos ascendentes. [definição de categoria.] 2. Pré-ordens e topologias: Topologia de Alexandroff. Espaços topológicos quasidiscretos. Ordem de especialização. A categoria dos conjuntos pré-ordenados (resp. parcialmente ordenados) é isomorfa à categoria dos espaços quasidiscretos (resp. espaços quasidiscretos T0). [alguns axiomas de separação para espaços topológicos: T0, T1, T2.]
Aula nº2 Dia: 4/3/02
3. Supremos e infímos: Majorantes e minorantes. Supremos e infímos. Semi-reticulados e reticulados. Reticulados completos. Exemplos. Operadores de fecho versus sistemas de fecho. 4. Completamentos: Completamentos de um conjunto parcialmente ordenado. Completamento de MacNeille. Exemplos. Caracterizações.
Aula nº3 Dia: 11/3/02
Conclusão da aula anterior. Observação de como a construção de Dedekind-MacNeille generaliza a construção de R como o completamento por cortes de Q, devida a Dedekind. 5. Conexões de Galois (adjunções): Definição e exemplos. Caracterizações e propriedades. 6. Teoremas do ponto fixo: Cadeias e conjuntos parcialmente ordenados completos relativamente a cadeias. Lema do Ponto Fixo de Bourbaki. Funções parciais e funcionais contínuas. O primeiro Teorema da Recursão de Kleene.
Aula nº4 Dia: 18/3/02
Teorema do ponto fixo de Tarski. Aplicações: (1) Teorema de Cantor-Bernstein. (2) Estabilidade de jogos combinatoriais e de jogos com tolerância (topológicos): estratégias estáveis e estratégias persistentes; existência de uma estratégia persistente para um dos jogadores.II-Reticulados como álgebras 1. Semi-reticulados e reticulados: Descrição dos semi-reticulados como monóides comutativos nos quais todo o elemento é idempotente. Descrição dos reticulados como álgebras definiveis por operações e equações.
Aula nº5 Dia: 8/4/02
2. Reticulados distributivos: Reticulados modulares e reticulados distributivos. O Teorema M3-N5. 3. Complementos e pseudocomplementos: Definições e propriedades. Reticulados complementados e reticulados pseudocomplementados. Álgebras de Boole. Leis de De Morgan.
Aula nº6 Dia: 15/4/02
Booleanização de um reticulado pseudocomplementado. 4. Álgebras de Boole e anéis de Boole: Teorema de Stone: equivalência entre as álgebras de Boole e um determinado tipo de anel (os anéis de Boole). Importância desta ideia revolucionária (à altura): a analogia com os anéis permite trazer a noção de ideal (em particular de ideal primo) para a teoria dos reticulados; é o conjunto dos ideais primos numa álgebra de Boole que providenciará a topologia para o Teorema da Representação de Stone. 5. Álgebras de Heyting: Definição e descrição equacional; pseudocomplementos e pseudocomplementos relativos. Relação das álgebras de Heyting com as álgebras de Boole e os reticulados distributivos. Lei distributiva infinita.
Aula nº7 Dia: 22/4/02
6. Ideais e filtros: Importação de ideias da teoria dos anéis para a teoria dos reticulados: Ideais, ideais primos e ideais maximais. Filtros, filtros primos e filtros maximais (ultrafiltros). Relações entre os ideais primos e os ideias maximais nas álgebras de Boole e nos reticulados distributivos. Teorema do Ideal Primo Booleano (BPIT) e Teorema do Ideal Primo (PIT). Relações entre estes resultados e o Axioma da Escolha; equivalência com o Axioma da Escolha para famílias de conjuntos finitos não-vazios.
Aula nº8 Dia: 29/4/02
Sessão de discussão de problemas. Palestra ``A Matemática no século XX" pelo Prof. F. Hirzebruch.
Aula nº9 Dia: 6/5/02
III - Dualidades de Stone e Priestley
1. Preliminares: conceitos categoriais básicos 2. Teoremas de representação: caso finito Átomos e elementos sup-irredutíveis. Teoremas da Representação para álgebras de Boole e para reticulados distributivos (caso finito). 3. Teoremas de representação: caso geral Teoremas da Representação para álgebras de Boole e para reticulados distributivos (caso geral). Discussão sobre o seu carácter não construtivo em contrapartida com o caso finito.
Aula nº10 Dia: 13/5/02
Necessidade de uma estrutura adicional topológica ('A cardinal principle of modern mathematical research may be stated as a maxim: "One must always topologize"' [Stone, 1938]). O espaço dos ideais primos de uma álgebra de Boole. Espaços topológicos totalmente separados e espaços de Stone. Teorema da Representação de Stone para álgebras de Boole. O espaço dos ideais primos de um reticulado distributivo. Espaços topológicos ordenados. Espaços de Priestley. Teorema da Representação de Priestley para reticulados distributivos.
Aula nº11 Dia: 20/5/02
IV - Topologia sem pontos
1. Os reticulados locais e os seus homomorfismos: a categoria Frm A categoria Frm dos reticulados locais. Exemplos de reticulados locais e de homomorfismos de reticulados locais. 2. Aspecto algébrico de Frm 3. Parentes (por adjunção) de Frm A adjunção entre Frm e a categoria dos espaços topológicos: pontos de um reticulado local; espectro de um reticulado local.
Aula nº12 Dia: 27/5/02
Descrições alternativas do espectro de um reticulado local L, em termos dos primos de L e dos filtros completamente primos. Espaços sóbrios. Sua localização na categoria dos espaços topológicos. Dualidade entre a categoria dos espaços sóbrios e a categoria dos reticulados locais espaciais. 4. Alguns conceitos topológicos em Frm Espaços regulares e reticulados locais regulares. Espaços compactos e reticulados locais compactos. Espaços completamente regulares e reticulados locais completamente regulares. Sequências interpoladoras. Relações de ordem interpoladoras. Propriedades dos reticulados locais compactos regulares.
Aula nº13 Dia: 3/6/02
5. Compactificação de Stone-Cech A compactificação de Stone-Cech na categoria dos espaços topológicos e a sua versão construtiva na categoria dos reticulados locais.