Licenciatura: Matemática

Ano Lectivo: 1999/00

Programa:

1. ALGUNS CONCEITOS DE MEDIDA E INTEGRAÇÃO:

1. Noções de tribo e de espaço mensurável.
2. Funções mensuráveis.
3. Noção de medida. Propriedades fundamentais. Medidas de Borel e de

Lebesgue em R^n.

4. Integral de Lebesgue. Teoremas fundamentais.
5. Relações entre os integrais de Riemann e de Lebesgue. Exemplos..

2. SÉRIES DE FOURIER:

1. Séries trigonométricas. Definição. Forma complexa. Critério de convergência de uma série trigonométrica. Relação entre os coeficientes e a soma de uma série trigonométrica.
2. Séries de Fourier de uma função periódica localmente integrável. Coeficientes de Fourier e seu comportamento assimptótico (Lema de Riemann – Lebesgue). Condições de convergência uniforme da série de Fourier. Teorema de Fourier. Igualdade de Parseval.
3. Desenvolvimentos de funções em série de Fourier. Exemplos.
4. Aplicação à resolução de equações de derivadas parciais.

3. TRANSFORMADA DE FOURIER:

1. Transformada e co – transformada de Fourier em L^1(R^n).
2. Transformada de Fourier e convolução.
3. Inversão da transformada de Fourier.
4. O espaço S(R^n). Transformada de Fourier em S(R^n).
5. Aplicação à resolução de EDO.

3. DISTRIBUIÇÕES.

1. Os espaços D(R^n) e D’(R^n).
2. Primeiros exemplos : medidas de Dirac e distribuições regulares.
3. Distribuições temperadas.
4. Operações sobre distribuições: derivada de uma distribuição, primitiva de uma distribuição, produto de uma distribuição por uma função infinitamente diferenciável.
5. Convergência em D’(R^n). Convergência de distribuições. Convergência de uma sucessão de funções no sentido das distribuições. Obtenção de representações da medida de Dirac.
6. Transformada de Fourier de uma distribuição temperada (Transformada de Fourier em S’(R^n)). Transformada de Fourier em L^2(R^n). Teorema de Plancherel – Parseval.