Medida e Integração

 

 

Licenciatura: Matemática

 

Ano Lectivo: 2001/02

 

Programa:

  1. Espaços mensurados

  1. Tribos: definição. Operações sobre conjuntos mensuráveis. Exemplos de tribos. Operações sobre tribos. Tribos borelianas. Restrição de uma tribo.

  2. Medidas positivas: Definição. Exemplos de medidas. Propriedades das medidas positivas sigma-finitas.

  3. Teorema do prolongamento: semi-anel, semi-álgebra. Teorema do prolongamento. Funções de repartição sobre IR. Funções de repartição sobre IRn.

  4. Restrição de uma medida.

  5. Conjunto m -desprezável.

  1. Aplicações mensuráveis

  1. Tribo gerada por uma aplicação.
  2. Aplicações mensuráveis.

  3. Aplicações numéricas mensuráveis. Caracterização das funções numéricas mensuráveis. Operações sobre as funções numéricas mensuráveis. Funções escalonadas.

  4. Medida imagem.

  1. Integração

  1. Integral das funções escalonadas positivas.

  2. Integral das funções mensuráveis positivas.

  3. Funções integráveis.

  4. Exemplos de cálculo de integrais. Misturas de medidas. Integração relativamente a uma medida discreta. Integração relativamente à medida de Lebesgue sobre IR. Integração relativamente à medida de Lebesgue sobre IRn.

  5. Teorema da convergência dominada.

  6. Integração relativamente a uma medida imagem.

  1. Consequências da Teoria da Integração

  1. Desigualdades fundamentais.

  2. Espaços LP: Igualdade quase-certa. Definição e propriedades dos espaços LP.