Análise Funcional

Licenciatura: Matemática - Ramo Científico ( Mat. Pura e Mat. Aplicada )

Ano Lectivo: 2002/03

Programa:

I. ESPAÇOS MÉTRICOS: Noção de espaço métrico. Exemplos (incluindo os espaços de sucessões 1^p, s, c_0, etc.). Conjuntos abertos, conjuntos fechados e vizinhanças. Continuidade em espaços métricos. Conjuntos densos e espaços separáveis. Convergência de sucessões. Sucessões de Cauchy e espaços completos. Isometrias. Completamento de espaços métricos. Compacidade em espaços métricos. Teorema do ponto fixo de Banach. Aplicação à teoria das EDO’s: Teorema de Picard.

II. ESPAÇOS NORMADOS E DE BANACH: Espaços normados e de Banach. Resultados básicos e exemplos. Completamento de espaços normados. Espaços L^p[a,b]. Sucessões e séries em espaços normados. Espaços normados de dimensão finita. Compacidade e dimensão finita. Lema de Riesz.

III. OPERADORES LINEARES EM ESPAÇOS NORMADOS: Operadores lineares: noções básicas e exemplos. Inverso de um operador linear. Operadores lineares limitados/contínuos em espaços normados. Funcionais lineares. Dual algébrico. Espaços algebricamente reflexivos. Operadores e funcionais lineares em espaços normados de dimensão finita. Espaços normados de operadores. Espaço dual (topológico). Teorema da categoria de Baire. Teorema de Banach – Steinhaus ou Princípio da limitação uniforme. Operadores lineares compactos em espaços normados. Teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado. Lema de Zorn. Os teoremas de Hahn -Banach. Algumas consequências. Dual de uma transformação linear. Teorema de Shauder. Espaços reflexivos. Reflexibilidade e separabilidade. Convergências forte, fraca e fraca*. Teorema de Banach – Alaoglu – Bourbaki (sem demonstração).

IV. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO E DE HILBERT: Noções de espaço com produto interno e de Hilbert. Exemplos. Propriedades básicas dos espaços com produto interno. Completamento. Complemento ortogonal e somas directas. Teorema da projecção ortogonal. Sucessões e conjuntos ortonormados. Processo de Gram – Schmidt. Sucessões e conjuntos totais ortonormados. Desigualdades de Bessel e fórmulas de Parseval. Teorema de representação de Riesz para funcionais lineares em espaços de Hilbert. Teorema de representação de Riesz para formas sesquilineares em espaços de Hilbert. Operador adjunto. Operadores auto – adjuntos, unitários e normais.