Métodos Numéricos p. Equações c. Derivadas Parciais

 

 

Licenciatura: Matemática

 

Ano Lectivo: 2002/03

 

Programa:

  1. Introdução

  1. O método de diferenças finitas para problemas com condição de fronteira. Propriedades quantitativas das soluções numéricas.

  2. O método de elementos finitos.

    1. Apresentação geral de resultados sobre problemas variacionais.

    2. Existência e unicidade de problemas variacionais.

    3. Problemas variacionais e problemas de minimização.

    4. O método de Galerkin (Ritz-Galerkin). Estimativa de erro para a solução de Ritz - Galerkin. O teorema de Céa.

    5. O método de elementos finitos. Estimativas de erro para a solução de elementos finitos segmentada linear relativamente à norma ||.||1 e ||.||0. Elementos finitos de ordem mais elevada.

  1. Métodos Numéricos para Equações Elípticas

  1. Métodos de diferenças finitas

    1. A equação de Poisson com condições de Dirichlet.

    2. Generalidades sobre matrizes.

    3. Propriedades da discretização da equação de Poisson. O teorema da média. O princípio do máximo discreto. Dependência dos dados.

    4. Consistência. Estabilidade. Convergência.

    5. Aproximações de ordem elevada.

    6. Equação de Poisson com condições de Neumann. Discretização da condição de fronteira com fórmulas de primeira e segunda ordens. Existência de solução – relação de compatibilidade para os dados. Construção da solução.

    7. Algumas extensões – domínios irregulares, equações diferenciais com coeficientes variáveis, partições não uniformes.

  1. Método de elementos finitos

    1. Formulação variacional – condições de Dirichlet homogénea, não homogénea e condições de Neumann. Existência de solução.

    2. O método de Ritz-Galerkin. Estimativas de erro.

    3. O método de elementos finitos. A solução de elementos finitos segmentada linear. Estudo do erro da solução de elementos finitos segmentada linear. Elementos de grau mais elevado.

  1. Métodos Numéricos para Problemas de Evolução

  1. O método de elementos finitos

    1. Aproximação semidiscreta e aproximação discreta.

    2. Análise das propriedades de convergência das aproximações semidiscreta e discreta.

  1. O método de diferenças finitas

2.1 Aproximação semidiscreta e aproximação discreta.

Propriedades quantitativas – Convergência. Consistência . Estabilidade. Teorema de Lax.