Teoria das Probabilidades

 

 

Licenciatura: Matemática (Ramo Científico – Especialização em Matemática Pura)

 

Ano Lectivo: 2002/03

 

Programa:

  1. Espaço de Probabilidade: espaço fundamental, acontecimentos, modelo probabilístico;

  2. Variáveis e vectores aleatórios: mensurabilidade, distribuição, p-sistemas, função de distribuição, representação de Skhorohod, classificação de variáveis aleatórias;

  3. Independência: entre acontecimentos e entre famílias, utilização de p-sistemas, Lemas de Borel-Cantelli, Lei 0-1 de Kolmogorov;

  4. Esperança matemática: consequências da integração à Lebesgue para variáveis e vectores aleatórios, Lema de Scheffé, Desigualdades de Markov, Chebyshev e de Jensen, espaços Lp, variância e covariância, teorema da projecção ortogonal;

  5. Condicionamento, esperança condicional: probabilidades condicionadas, teorema da probabilidade total, existência da esperança condicional, propriedades;

  6. Martingalas a tempo discreto: espaço filtrado, martingalas, super e sub-martingalas, sucessões previsíveis, tempos de paragem, martingalas interrompidas, convergência de super-martingalas;

  7. Martingalas limitadas em L2: ortogonalidade dos incrementos, somas de variáveis independentes, teorema das três séries e da truncagem, leis fortes dos grandes números;

  8. Funções características: definição e propriedades, fórmula de inversão, teorema da unicidade, cálculo de momentos, caracterização de independência;

  9. Convergência fraca e em distribuição: convergência fraca de medidas, caracterização em termos de funções de distribuição, Lema de Helly-Bray, fineza de sucessões de probabilidades, Teorema da convergência Lévy, teorema do limite central.