Matrizes e Determinantes. Generalidades. A noção de matriz. Notações usadas. Operações com matrizes. A matriz soma de duas matrizes. A matriz produto de um número por uma matriz. Multiplicação de matrizes-definição. Exemplos e algumas propriedades. Inversa de uma matriz quadrada-definição, exemplos e principais propriedades (unicidade e inversa do produto). Transposição de matrizes – definição e principais propriedades. Matriz simétrica e matriz ortogonal. Determinante de uma matriz em M(1.1)(K) e em M(2.2)(K) – motivação e definição. O determinante de uma matriz em M(2.2)(K). Notações, exemplos e principais propriedades. O determinante de uma matriz em M(3.3)(K). Definição, notações, exemplos e principais propriedades (Teorema de Laplace). O determinante de uma matriz em M(n.n)(K) para n maior ou igual a 4. Definição, exemplos e principais propriedades. A função determinante. Ainda algumas propriedades de determinantes. Sistemas de equações lineares. A noção de solução de um sistema. Tipos de sistemas em relação ao número de soluções. O Algoritmo de Eliminação de Gauss na resolução de sistemas de equações lineares. Descrição e justificação do método. Aplicações. Decomposição LU de uma matriz (resolução de sistemas). Resolução de Sistemas Homogéneos. O Algoritmo de Gauss-Jordan para a determinação da inversa de uma matriz. Algumas observações referentes à unicidade da decomposição LU para matrizes não-sigulares. Determinantes (algumas propriedades). A regra de Cramer.
Espaços Vectoriais e Transformações Lineares. Definição e principais exemplos de espaço vectorial. Algumas propriedades satisfeitas em espaços vectoriais. Subespaços vectoriais. Definição e exemplos. Geração e conjuntos geradores. Dependência e Independência Linear. Critério de independência linear. Base de um espaço vectorial. Bases e dimensão de um espaço vectorial. Matriz de mudança de base. Característica e Nulidade de uma matriz. Transformações (aplicações) lineares. Definição exemplos e algumas propriedades. Representação matricial de transformações lineares. Matrizes equivalentes e matrizes semelhantes.
Espaços Vectoriais com Produto Interno. Alguns conceitos geométricos em IR2. Definição de Espaço Euclideano. Consequências imediatas da definição de espaço Euclideano. Exemplos de produtos internos. Norma (ou comprimento) de um vector. Distância e ângulo entre dois vectores. Vectores ortogonais. Projecção ortogonal de um vector noutro. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Propriedades da norma (desigualdade triangular).Teorema de Pitágoras. Base ortogonal e base ortonormada. Subespaço complemento ortogonal de um dado subespaço. Projecção ortogonal de um vector sobre um subespaço. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. O método dos mínimos quadrados para resolução de sistemas de equações lineares.
Vectores – próprios e Valores próprios de uma Transformação Linear. Diagonalização de matrizes. Matrizes Simétricas Reais. Matriz da métrica. Relação entre as matrizes da métrica para bases diferentes. Coordenadas homogéneas em R3. Quádricas. Equação geral de uma quádrica em coordenadas homogéneas. Equação canónica (ou equação reduzida) da quádrica. Lista das principais equações reduzidas das principais quádricas. Formas quadráticas. Redução de formas quadráticas. Transformação de coordenadas em R3. Redução ao centro. Redução às direcções principais.