Page 140 - Textos de Matemática Vol 35

118 Cap´ıtulo7. OespectrodePiercedumanel 7.2 O espectro regular dum anel
Defini¸c˜ao 7.2.1 Um ideal I / R dum anel ´e regular quando I ´e gerado pelos seus elementos idempotentes.
Logo um ideal I / R ´e regular quando cada elemento i 2 I tem a forma i=r1e1 +···+rnen
comri 2R,ei 2I,e2i =ei.
Proposi¸c˜ao 7.2.2 Seja I / R um ideal dum anel. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao
equivalentes:
1. o ideal I / R ´e regular;
2. 8i2I 9e2I e=e2, i=ie;
3. 8i1,...,in 2I 9e2I e=e2, 8k=1,...,n ik =ike.
Demonstra¸c˜ao E´ trivial observar que (3) ) (2) ) (1). Provamos (1) ) (3). Cada ik tem a forma
i =r(k)e(k)+···+r(k)e(k) k11 mkmk
com r(j) 2 R, e(j) 2 I, ⇣e(j)⌘2 = e(j). Basta encontrar e = e2 2 I tal que iiii
e(j)e = e(j) para todos os ´ındices i, j. ii
Isto reduz o problema `a seguinte situa¸c˜ao. Se e1 , . . . , em sa˜o elementos idem- potentes de I, existe um elemento idempotente e 2 I tal que, para cada ´ındice i, temos eie = ei, isto ´e, ei  e. Basta escolher e = e1 _ · · · _ en 2 I. ⇤
Proposi¸c˜ao 7.2.3 Em cada anel R
1. os ideais (0) / R e R / R s˜ao regulares;
2. a intersec¸c˜ao I \ J de dois ideais regulares de R ´e ainda um ideal regular e coincide com o produto IJ dos ideais;
3. uma soma +k2KIk de ideais regulares ´e ainda um ideal regular.
Demonstra¸c˜ao O anel ´e regular porque r = r1 para cada r 2 R, com 1 2 R um elemento idempotente. O ideal (0) ´e regular porque 0 ´e idempotente.
Se I, J s˜ao ideais, temos sempre IJ ✓ I \J. Se I e J s˜ao regulares e r2I\J,podemosescreverr=recome=e2 2J (ver7.2.2). Logor=re com r 2 I e e 2 J; isto demonstra que r 2 IJ e ent˜ao I \ J = IJ. Trata-se de demonstrar que IJ ´e regular. Cada elemento de IJ tem a forma
r=i1j1+···+injn, ik2I,jk2J.