Page 157 - Textos de Matemática Vol 35

Cap´ıtulo 8
Um teorema de Galois para os an´eis
Conven¸c˜ao. Neste cap´ıtulo, todos os an´eis e todas as ´algebras s˜ao comutativos com unidade.
A considera¸c˜ao do functor “espectro dum anel” e do seu functor adjunto ´e a chave para generalizar, ao caso dos an´eis, a no¸c˜ao de ´algebra cindida. Os mesmos functores permitem definir o grup´oide de Galois duma extens˜ao de Galois de an´eis: no caso dos corpos, este grup´oide ´e o grupo profinito de Galois cl´assico. Tamb´em o Teorema de Galois para os an´eis cont´em como caso particular o Teorema de Galois para os corpos.
8.1 A´lgebras cindidas sobre um anel
Para facilitar as demonstra¸c˜oes ulteriores, damos a defini¸c˜ao em duas etapas:
Defini¸c˜ao 8.1.1
unidade
Denotamos por CindS a categoria das S-´algebras cindidas. Temos imediatamente:
Proposi¸c˜ao 8.1.2 Cada anel S ´e uma S-´algebra cindida.
Demonstra¸c˜ao Isto ´e uma par´afrase do Teorema 7.3.8. ⇤
Seja S um anel. Uma S-´algebra B ´e cindida quando a
q B
a C : Algop q q Prof/Sp(S)
↵B : CSSpS(B) SSS
da adjun¸c˜ao
(ver 7.4.3) ´e um isomorfismo.
Sp
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