Page 35 - Textos de Matemática Vol 35

Cap´ıtulo 2
O Teorema de Galois, vers˜ao Grothendieck
Conven¸c˜ao. Neste cap´ıtulo, todos os corpos s˜ao comutativos; todas as ´algebras s˜ao comutativas com unidade.
Grothendieck desenvolveu uma teoria de Galois muito geral, v´alida em par- ticular na teoria dos esquemas. Este cap´ıtulo apresenta essa teoria no caso particular da teoria de Galois de dimens˜ao finita dos corpos. A vers˜ao de Grothendieck do Teorema de Galois substitui a bijec¸c˜ao de Galois (Teorema 1.3.2) por uma equivalˆencia de categorias, que cont´em a bijec¸c˜ao cl´assica como caso muito particular.
O Teorema cl´assico de Galois (1.3.2) utiliza de maneira essencial a teoria do polin´omio m´ınimo, logo em particular a divis˜ao euclidiana dos polin´omios. E´ imposs´ıvel generalizar tais argumentos ao caso dos an´eis, onde n˜ao existe a divis˜ao. O Teorema de Galois de Grothendieck exprime-se numa equivalˆencia de categorias onde ambas as categorias podem descrever-se sem nenhuma referˆencia `a teoria dos polin´omios (ver Teorema 2.4.5). E´ o primeiro passo em direc¸c˜ao a um teorema de Galois para os an´eis.
2.1 A´lgebras sobre um corpo
Esta sec¸c˜ao recorda alguns resultados cl´assicos da teoria das ´algebras sobre um corpo.
Defini¸c˜ao 2.1.1 Seja K um corpo. Uma K -´algebra ´e um qu´adruplo (A, +, ⇥, ·) onde
1. (A, +, ⇥) ´e um anel (comutativo, com unidade); 2. (A, +, ·) ´e um espa¸co vectorial;
3. 8k2K 8a,a0 2A k·(a⇥a0)=(k·a)⇥a0.
13