Page 55 - Textos de Matemática Vol 35

Cap´ıtulo 3
Espa¸cos topol´ogicos profinitos
Para estudar o problema de Galois em dimens˜ao infinita ... ou quando n˜ao temos uma boa noc¸˜ao de dimens˜ao (como no caso dos an´eis), ´e necess´ario in- troduzir no¸c˜oes topol´ogicas. Intuitivamente, a topologia da situac¸˜ao alg´ebrica em dimens˜ao finita ´e discreta e a situa¸c˜ao topol´ogica em dimens˜ao infinita ´e o limite das situac¸˜oes discretas de dimens˜ao finita.
3.1 Espa¸cos totalmente desconexos
Defini¸c˜ao 3.1.1 Um espa¸co topol´ogico X ´e totalmente desconexo quando dois elementos x 6= y de X est˜ao contidos em dois abertos-fechados disjuntos U , V :
8x,y2X x6=y)9U,V abertos-fechadostaisquex2U, y2V, U\V =;.
Em particular, um espac¸o totalmente desconexo ´e um espac¸o de Hausdor↵.
Proposi¸c˜ao 3.1.2 Cada subespa¸co dum espa¸co totalmente desconexo ´e ainda desconexo. Cada subespa¸co fechado dum espa¸co compacto totalmente desconexo ´e ainda compacto totalmente desconexo.
Demonstra¸c˜ao A primeira afirma¸c˜ao ´e trivial. A segunda tamb´em, porque um subespac¸o fechado dum espac¸o compacto ´e um espac¸o compacto. ⇤
Proposi¸c˜ao 3.1.3 Na categoria dos espa¸cos topol´ogicos, um limite de espa¸cos totalmente desconexos ´e ainda um espa¸co totalmente desconexo.
Demonstra¸c˜ao Em primeiro lugar, um produto topol´ogico Qi2I Xi de espa¸cos totalmente desconexos ´e totalmente desconexo. Efectivamente, se (xi)i2I 6= (yi)i2I , existe um ´ındice i0 tal que xi0 6= yi0 . No espac¸o Xi0 existem abertos-
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