Page 62 - Textos de Matemática Vol 35

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Cap´ıtulo 3.
Espa¸cos topol´ogicos profinitos
1. bb0 )Ob ◆Ob0, 2. b6=b0 )Ob 6=Ob0, 3.Ob^b0 =Ob[Ob0, 4.Ob_b0 =Ob\Ob0, 5.O1=;, O0=B, 6. O{b = {Ob,
para cada par de elementos b, b0 2 B.
Proposi¸c˜ao 3.4.4 O espectro duma ´algebra de Boole ´e um espa¸co profinito.
Demonstra¸c˜ao Se F 6= F0 s˜ao ultrafiltros distintos, a maximalidade de F implica F 6✓ F0. Escolhendo b 2 F \F0, obtemos F0 2 Ob e F 62 Ob. Pela Proposic¸˜ao 3.4.3, Spec(B) ´e totalmente desconexo.
S Pelo Teorema 3.2.2, basta provar que Spec(B) ´e compacto. Seja Spec(B) =
i2I Obi uma uni˜ao de abertos da base (ver Proposi¸c˜ao 3.4.3). Temos 8F 2Spec(B) 9i2I F 2Obi
ou, equivalentemente,
8F 2Spec(B) 9i2I bi 62F. G={y2B|9i1,...,in 2I bi1 ^···^bin y}.
Conclu´ımos por uma redu¸c˜ao ad absurdum. Se n˜ao existe uma subcobertura finita da cobertura original, para cada sucess˜ao bi1 , . . . , bin , existe um ultrafiltro Fi1,...,in tal que
Fi1 ,...,in 62 Obi1 [ · · · [ Obin = Obi1 ^···^bin ,
quer dizer, bi1 ^· · ·^bin 2 Fi1 ,...,in . Em particular bi1 ^· · ·^bin 6= 0. Isso demons- tra que G, que ´e trivialmente um filtro, ´e um filtro pr´oprio. Pela Proposi¸c˜ao 3.3.3, esse filtro pr´oprio G est´a contido num ultrafiltro F. Mas G, e ent˜ao F, contˆem todos os elementos bi, i 2 I. Isso implica F 62 Obi , para cada i 2 I: ´e uma contradi¸c˜ao. ⇤
Demonstra¸c˜ao As seis condi¸c˜oes s˜ao consequˆencias directas das Proposi¸c˜oes 3.3.2 e 3.3.3. A condi¸c˜ao (6) implica que Ob ´e fechado.
Para cada filtro H ✓ B, H = Sb2H "b. Ent˜ao OH = Sb2H O"b (ver 3.4.1). E pela condi¸c˜ao (4), O"b \ O"b0 = Ob_b0 . ⇤
Consideramos agora