Page 86 - Textos de Matemática Vol 35

64 Cap´ıtulo4. OsteoremasdeGaloisemdimens˜aoinfinita
K ✓ Mi ✓ L de dimens˜ao finita. Pelo Teorema 2.6.1, Xi = HomK(Bi,Mi) para uma K-´algebra Bi de dimens˜ao finita cindida por K ✓ Mi. Pela Proposic¸a˜o
4.5.2
Xi ⇠=HomK(Bi,Mi)⇠=HomK(Bi,L).
Se fij : Xi q Xj ´e um morfismo no diagrama que define X, podemos esco- lher uma subextens˜ao de Galois K ✓ Mi,j ✓ L de dimens˜ao finita que cont´em Mi e Mj (ver 4.1.3). As K-´algebras Bi e Bj sa˜o a fortiori cindidas por K ✓ Mi,j, logo a Proposi¸c˜ao 4.5.2 implica de novo
Xi ⇠= HomK(Bi,L) ⇠= HomK(Bi,Mi,j), Xj ⇠= HomK(Bj,L) ⇠= HomK(Bj,Mi,j).
Em particular, a composi¸c˜ao induz uma estrutura de Gal[Mi,j : K]-conjuntos so- bre Xi, Xj e fi,j : Xi q Xj torna-se num morfismo de Gal[Mi,j : K]-conjuntos. De novo o Teorema 2.6.1 implica que esse morfismo
fij:HomK(Bi,M)=Xi qXj =HomK(Bj,M)
´e induzido por um morfismo hi,j : Bj q Bi de K-´algebras.
Observamos que, partindo do diagrama cofiltrante (Xi)i2I, constru´ımos um diagrama filtrante (Bi)i2I correspondente na categoria das K-a´lgebras cindidas por K ✓ L. Consideramos o colimite filtrante A = colimi2I Bi na categoria das K-´algebras. Esse colimite ´e constru´ıdo como na categoria dos conjuntos, porque
´e filtrante. Queremos demonstrar que a K-´algebra A ´e cindida por K ✓ L. Cada elemento a 2 A tem a forma [ai] para um ´ındice i 2 I e um elemento ai 2 Bi. O polin´omio m´ınimo p(X) de ai decompo˜e-se em factores lineares distintos sobre L, porque Bi ´e cindida por K ✓ L (ver 2.4.1). Mas p(ai) = 0 em Bi implica p(a) = 0 em A; ent˜ao o polin´omio m´ınimo q(X) 2 K[X] de a 2 A ´e um factor de p(X) (ver 2.3.4). Em particular, q(X) decomp˜oe-se em factores
lineares distintos sobre L. Isso demonstra que A ´e cindida por K ✓ L. Finalmente temos
HomK (A, L) ⇠= HomK ✓colim Bi, L◆ ⇠= lim HomK (Bi, L) ⇠= lim Xi ⇠= X. i2I i2I i2I
Isso conclui a demonstrac¸˜ao do lema e tamb´em a demonstrac¸˜ao do Teorema 4.6.1. ⇤
Corol´ario 4.6.7 Sejam K ✓ L uma extensa˜o de Galois de corpos e A ✓ L uma K-sub´algebra. As seguintes condi¸c˜oes sa˜o equivalentes:
1. A ´e um corpo;
2. A q q L ´e um monomorfismo forte de K-´algebras.
Demonstra¸c˜ao Se A ´e um corpo, consideramos A ✓ B ✓ L inclus˜oes de K- -´algebras, com A ✓ B um epimorfismo. Temos que demonstrar que A = B. Observamos que B ´e uma A-´algebra, porque A ✓ B. Al´em disso, A ✓ L ´e uma