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NONIUS
nº19 ISSN 0870-7669 Junho 1989
Folha Informativa do Projecto "Computação no Ensino da Matemática"

O USO DAS CALCULADORAS E DOS COMPUTADORES,
E OS CÁLCULOS NA AULA DE MATEMÁTICA
- 6ª parte -

O texto seguinte é a continuação da tradução de uma parte da brochura "Quelques apports de 1'informatique à l'enseignement des Mathématiques" editada em 1977 peta APMEP (uma associação de professores de matemática francesa).

Aritmética Experimental

a) a=bq+r, 0<r<b não conheço!

É regra quase geral que, a divisão euclidiana em N, não é "conhecida" dos materials de cálculo existentes.

Querendo um resultado inteiro (visionado ou impresso) para a divisão de 47 por 3, obtemos 16, arredondamento de 15,666..., e "este" 16 multipticado por 3 dará novamente 47.

Para obter q, será preciso

- ou passar pela parte inteira de a/b

- ou comparar os múltiplos sucessivos de b com a.

Nos dois casos,calculamos em seguida r=a-bq. 0 primeiro algoritmo, linear, e evidentemente o de execução mais eficaz. O segundo não tem interesse senão ao nível da definição e da manipulação de ciclos e de testes.

b) a=bq+r, 0<r<b conhecemos, mas para quê?

A manipulação dos números teve sempre um lado mágico para os alunos... e adultos... É um jogo, com a condição de não ensombrar com cálculos muito numerosos e muito trabalhosos.

A utilização de micro-computadores ou de calculadoras (sobretudo as programáveis) tem neste dominio dois aspectos interessantes:

- Procura de algoritmos. esta procura, a melhoria dos algoritmos, a escrita esquemática (organigramas) permitem apreender bem, e frequentemente por métodos diferentes, os problemas postos. A comparação das metas ao nível da execução é uma motivação suplementar para os alunos. Por outro lado, a modificação, por vezes mínima, de um algoritmo, pode desembocar na resolução de outro problema.

- Conjectura e Investigação: a possibilidade de iterações que oferece o material programável permite desembaraçar-se dos cálculos repetitivos, fastidiosos e desmobilizadores, para se consagrar aos resultados e às reflexões daí decorrentes.

c) A aritmética é um verdadeiro manancial para tais investigações. Não desenvolveremos aqui os programas correspondentes que o professor de matemática poderá ele próprio reencontrar.

Daremos simplesmente alguns temas organizados segundo uma progressão que parece ter dado resultado e acrescentaremos algumas considerações sobre cada um deles.

d) Algumas observações:

1. Sendo a e b dois números naturais, depois de ter feito a divisão euclidiana (a = bq.r), podemos iterar:

- a substituição de a por 10r e obtemos o desenvolvimento décimat de a/b.

- a substituiçã de a por b e b por r (é o algoritmo de Euclides) e obtemos o mdc de a e b.

- a substituição de b por b+1 e procuramos os divisores de a.

Eis um exemplo de manipulação do organigrama relativo ao algoritmo de Euclides:

CALCULADORAS

I

Pequenas modificações do organigrama I dão origem a outros problemas ilustrados em II e IIIi.

II

III

2. Fazendo (u,v) percorrer N^2 veremos que existe um par verificando a relação de Bezout:

au - bv = mdc (a,b).

O fenómeno é bastante surpreendente quando a e b forem primos entre si.

3. Dois naturais são amigáveis se a soma dos divisares de um, exceptuando ele próprio, é igual ao outro e inversamente; por exemplo 220 e 284.

Um natural diz-se perfeito é auto-amigável; por exemplo 28.

Um plutão é um natural que tem mais divisares que todos os que o precedem; por exemplo 12.

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