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SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS EM FISICA
UMA INTRODUÇÃO PRATICA
Carlos Fiolhais

Os três pequenos programas, escritos em Basic, PISA, DARDO E KEPLER, ilustram de modo simples e pedagógico algumas das novas possibilidades que os computadores abrem para o ensino da física. Visam respectivamente descrever as seguintes situações:

1) Queda de graves na vertical com e sem resistência do ar;

2) lançamento de um projéctil com e sem resistência do ar;

3) sistemas solares: um planeta e um Sol, dois planetas e um Sol e um planeta e dois sois.

1) PISA
Este programa simula, integrando a correspondente equação de Newton, o movimento (unidimensional) de queda de um grave que é lançado do cimo de uma torre inclinada. Serve para comparar os movi-mentos de dois projécteis, lançados da mesma altura com velocidades iniciais diferentes e submetidos a resistências do ar diferentes. O valor da altura da torre é uma entrada do programa (Galileu teria efectuado as suas experiências na Torre de Pisa, que tem uma altura total de 56m e o último andar a 47m).

Como primeiro exemplo de aplicação, podem deixar-se cair os dois objectos do repouso, considerando um sem e o outro com resistência do ar (esta experiência computacional não pode, evidentemente, ser efectuada na prática).

Uma das vantagens dos computadores no ensino da mecânica consiste na possibilidade de se passar da física aristotélica, que pretende descrever um mundo dominado pelo atrito, para a física newtoniana, que na sua forma mais simples se refere a um mundo ideal.

Indica-se a resistência do ar especificando o valor da velocidade terminal. É sabido que qualquer corpo em queda num meio que ofereça resistência ao movimento acaba por adquirir uma velocidade terminal constante. Isso acontece porque a força de resistência do ar aumenta com a velocidade. A certa altura torna-se igual ao peso. Então, a força total sobre o objecto passa a ser nula e o corpo cai a partir daí com velocidade constante (o movimento rectilíneo e uniforme é portanto muito fácil de obter na prática!). Suponhamos, para simplificar, que a força de resistência do ar é proporcional à velocidade do objecto (esta é a fórmula de Stokes, que é válida para uma esfera que se move com uma velocidade pequena no interior de um fluido):

O coeficiente c caracteriza a intensidade da força. Quando se atinge a velocidade terminal, tem-se

donde

Portanto, é equivalente falar do coeficiente c ou da velocidade terminal v. Tratam-se de duas maneiras diferentes de parametrizar o mesmo fenómeno. Prefere-se aqui usar a velocidade terminal porque o seu valor vem em unidades conhecidas, sendo relativamente fácil a percepção da sua ordem de grandeza. Deve acrescentar-se que a descrição da força de resistência do ar não é nenhuma lei física universal. Essa resistência varia de objecto para objecto e de situação para situação. Por exemplo, se se adoptar uma dependência quadrática na velocidade, que para muitas situações de queda de graves é realista, tem-se para o regime de velocidade constante

Neste caso, o novo coeficiente d relaciona-se com a velocidade terminal da seguinte maneira:

Um corpo numa situação ideal, sem resistência do ar, nunca atinge uma velocidade terminal. Se for deixado cair, a sua velocidade aumenta indefinidamente. Como o "infinito" não cabe obviamente na memória de um computador, deve-se indicar nesse caso um valor da velocidade terminal que seja suficientemente grande. O algoritmo que aqui serve para a integração da equação de Newton

é o chamado algoritmo de Euler modificado. O algoritmo de Euler consiste em discretizar o tempo e determinar, por um processo iterativo, os valores da velocidade e da posição, em cada instante, a partir dos valores dessas quanti-dades no instante anterior. Ao fim do primeiro intervalo de tempo, a velocidade é a velocidade inicial mais um pequeno acréscimo que é o produto da aceleração inicial pelo intervalo de tempo. Do mesmo modo, a posição no primeiro instante é a posição no instante zero mais o produto da velocidade inicial pelo intervalo de tempo. E assim sucessivamente. A modificação do algoritmo, que o melhora consideravel-mente para o caso de movimentos periódicos, foi descoberta (ou redescoberta?) acidental-mente por uma estudante norte-americana. Esse acidente mostra como experiências computacionais simples podem conduzir a conhecimentos novos de análise numérica. O novo método consiste simplesmente em usar a velocidade que acaba de ser determinada para calcular a nova posição, em vez da velocidade anterior. Tem-se, com n=0,1,2, etc.:

Pode-se deixar cair, por exemplo de 30m, uma pequena esfera com uma velocidade terminal muito grande (por exemplo, 10000m/s). Ao mesmo tempo larga-se um outro corpo idêntico mas que acaba por adquirir uma velocidade terminal razoável (30m/s). Considera-se para isso uma força de resistência do ar quadrática na velocidade. É evidente que, tal como a intuição previa, o corpo que não está sujeito à resistência do ar chega primeiro ao solo. Mas não é evidente, à partida, qual é a importância quantitativa desse efeito. A simulação computacional (v. Fig.1) permite averiguar qual é exactamente o efeito do ar. Quando o corpo da esquerda chegou ao chão, ao fim de 2,5s (este tempo tem a ver com a ordem de grandeza da aceleração da gravidade à superfície da Terra, que é de 10 m/s aproximadamente), o da direita ainda está a 3m de altura. Uma altura de 3m em 30m é considerável (10%), pelo que se pode concluir que a maior parte dos problemas dos livros de mecânica (que não levam em conta a resistência do ar) é irrealista. Pode também colocar-se a questão de saber se o corpo da esquerda já atingiu a velocidade terminal quando caiu, i.e. se uma distância de 30 m é suficiente para esse objectivo. Uma pequena modificação do programa (programas em Basic já escritos mas modificáveis pelo utilizador podem ajudar quem não saiba programar a iniciar-se nessa actividade) permite represen-tar os gráficos posição-tempo e velocidade-tempo do grave da direita. A Fig. 2 mostra os dois gráficos sobrepostos (as escalas respecti-vas são evidentemente diferentes!). Qual das curvas representa a velocidade e qual mostra a aceleração? A curva da velocidade é a de cima. A velocidade parte de zero e cresce até atingir um valor constante. Por outro lado, a coordena-da de posição continuaria sempre a crescer se não surgisse o chão. Verifica-se que, no fim do percurso, ainda não foi atingida a velocidade terminal.


Fig.1 Queda de um grave com atrito (à direita) e sem atrito (à esquerda) de uma altura de 30 cm. quando o corpo da esquerda caiu o da direita ainda está quase a 3m de altura.	Fig.2 Gráficos posição-tempo e velocidade-tempo para o movimento do corpo da direita na Fig.1.

Um problema que se pode resolver com este programa reveste a forma de um jogo: manda-se um grave para cima com a resistência do ar desligada e deixa-se cair um grave para baixo cuja resistência ao movimento é medida pela velocidade terminal vt = 30 m/s. Qual é o valor máximo da velocidade para cima para que esse projecto, apesar de começar por subir, chegue primeiro ao chão?

Sugere-se ainda o seguinte trabalho de projecto. Considere-se um paraquedista que cai de uma altura de 3000 m, primeiro em queda livre e depois com o paraquedas aberto (é necessário averiguar qual é o valor adequado da resistência do ar num e noutro caso). A questão a resolver consiste em averiguar a altura mínima a que pode abrir o paraquedas de modo a cair já com a velocidade terminal. Deve-se verificar se, neste caso, é ou não relevante considerar a variação da aceleração da gravidade com a altitude.

2. DARDO
O segundo programa destina-se a simular o lançamento de um dardo numa competição de atletismo. O dardo é lançado a 2 m de altura (esta é a altura da mão do atleta, quando levantada) com uma velocidade inicial de 30 m/s (os melhores atletas conseguem imprimir ao dardo uma velocidade com essa ordem de grandeza). O ângulo de lançamento é variável. Considera-se um valor relativamente realista para a resistência do ar, sendo quadrática a respectiva dependência na velocidade: d= 0,01 N. s2/m2.

Pergunta-se: qual é o ângulo de tiro que conduz ao alcance máximo? O programa permite 3 tentativas para dar a resposta mas, como é óbvio, pode-se depois recomeçar o programa. O melhor ângulo de tiro não é 45‚ mas sim um pouco menor. Não se trata tanto do efeito da resistência do ar, que de facto faz diminuir um pouco o menor ângulo, mas mais do facto de o atleta efectuar o lançamento de uma altura de 2m. Outra pergunta: e se o lançamento for efectuado de uma posição a 10m de altura (do cimo de uma pequena elevação)? A resposta pode ser obtida, por simulação computacional, mudando apenas um valor numa linha do programa.

Pode-se também verificar, como segundo exercício, que os ângulos de 30‚ a 60‚ (que são "equidistantes" em relação a 45‚) não conduzem ao mesmo alcance para o dardo. O ângulo de 60‚, para o qual o dardo está mais tempo no ar, conduz a um alcance menor.

Pode-se ainda mudar o programa para ver qual seria o recorde do lançamento do dardo nuns hipotéticos Jogos Olímpicos realizados na Lua no próximo século. Supõe-se que o atleta dispara o dardo com a mesma velocidade inicial. Agora o dardo demora muito mais tempo no ar. Cai a 552 m (Fig.4), sendo necessário para visualizar a queda mudar a escala utilizada! Isto acontece porque na Lua o valor da aceleração da gravidade é 1/6 do da Terra e porque não existe lá resistência do ar ou de qualquer outro gás.


Fig.3 Simulação do lançamento do dardo para vários ângulos de tiro.	Fig.4 O mesmo lançamento na lua.A escala é a mesma .

Finalmente, pode-se modificar o programa, para que, em vez de três lançamentos com três ângulos de tiro diferentes,talcomo na primeira situação, se efectuem três lançamentos com resistências diferentes. Para três ordens de grandeza diferentes da resistência do ar, obtêm-se os alcances indicados na Fig.5. Conclui-se que a resistência do ar não tem um efeito linear no alcance.

Fig.5

O problema do dardo pode servir de protótipo para trabalhos de projecto, como, por exemplo, o disparo de uma grande peça de artilharia. Na Primeira Grande Guerra, os alemães concebe-ram um canhão (o "Bertha") que serviu para disparar obuses muito pesados sobre a cidade de Paris. O alcance desse canhão era de mais de 100 Km. Para a simulação desse caso é evidente-mente necessário considerar efeitos como a dependência da aceleração da gravidade da altitude, a diferente densidade do ar na alta atmosfera (que influi no valor da resistência do ar), forças de Coriolis, etc..

3. KEPLER
Este programa, um pouco maior do que os dois anteriores, serve para simular vários tipos de movimento planetário. Permite integrar da segunda lei de Newton para problemas planetários de um e dois centros e representar graficamente do resultado.

Na primeira opção, trata-se do velho problema de Kepler: um único corpo que roda à volta de um sol imóvel. Considere-se, para fixar ideias, que se trata da Terra e do Sol. Sabe-se que o movimento orbital da Terra é aproximadamente um círculo (trata-se, de facto, de uma elipse muito pouco excêntrica), cujo raio é de 1 unidade astronómica (1 UA = 8 minutos luz = 1,5 x 108 Km), e que a Terra demora 1 ano a dar uma volta completa em torno do Sol. É conveniente usar estas unidades, a fim de evitar números muito grandes: a distância é medida em UA e o tempo em anos. O valor da constante da gravitação universal e da massa do Sol tem portanto de ser dados não nos sistemas SI mas no novo sistema. Considere-se a condição de movimento circular uniforme:

e o facto de que

Fazendo r= 1 UA e T = 1 ano, tira-se o valor . No fundo, o que se fez foi aplicar a terceira lei de Kepler ao caso particular do movimento circular (os cubos dos raios são proporcionais aos quadrados dos períodos). Para se obter uma trajectória circular partindo do ponto (1 UA, 0), é necessária uma velocidade inicial (0, 2 UA/ano), tal como a Fig. 6 mostra. Se se imprimir uma velocidade maior tem-se uma elipse. Se se der uma velocidade menor, tem-se ainda uma elipse. Qualquer que seja a velocidade inicial a órbita fecha-se, obtendo-se sempre uma elipse com o Sol no foco, desde que a energia total seja negativa (para uma energia positiva, o movimento não é periódico). Pode verificar-se esta afirmação efectuando várias simulações computacionais. Este é o conteúdo da primeira lei de Kepler: as órbitas são elipses. O movimento rectilíneo é um caso muito particular da elipse: acontece quando se larga o planeta com uma velocidade nula (pergunta: quanto tempo demoraria a Terra a cair sobre o Sol se, de repente, o nosso planeta fosse fixo na sua actual posição e depois simplesmente largado?).

Fig.6-8
Movimento de um corpo sujeito a forças centrais, respectivamente, de Kepler, Hooke e inversamente proporcional ao cubo da distância.

A segunda lei de Kepler diz que áreas iguais são percorridas em intervalos de tempo iguais. Com o programa em causa, esta lei é mais difícil de visualizar do que a primeira. Verifica-se, no entanto, qualitativamente que o planeta acelera, i.e. passa a andar mais depressa, quando está mais perto do Sol. Para o caso do círculo, é fácil verificar que cada quarto de círculo é percorrido no mesmo tempo: precisamente um quarto de ano.

A terceira lei de Kepler afirma que os quadrados dos tempos são directamente proporcionais aos cubos dos eixos maiores das elipses. Esta afirmação pode ser verificada por meio de uma escolha adequada de condições iniciais.

Uma modificação interessante do programa consiste em utilizar uma outra força central em vez da de Newton: se a força for proporcional à distância (força elástica ou de Hooke), pode-se verificar que as leis de Kepler passam a ser as seguintes:

Pode introduzir-se uma anisotropia no problema de Hooke, i.e. considerar uma constante elástica segundo uma direcção que é, por exemplo, o dobro de outra (como outro exemplo, pode-se considerar um número não inteiro). O resultado para o caso de um múltiplo inteiro é uma figura de Lissajous (Fig. 7), conhecida da utilização do osciloscópio em laboratório. Com o auxílio do computador, passou-se portanto de um problema de mecânica celeste para um problema de duas tensões eléctricas sinusoidais que fazem deflectir um feixe de electrões.

Podem-se ainda escolher outras forças: por exemplo, uma força proporcional a . Deveria, de acordo com a equação que define a órbita circular, ter-se ainda uma circunferência para as mesmas condições iniciais r = 1 UA e . No entanto, essa órbita é instável e o planeta, seguindo uma espiral logarítmica (Fig.8), acaba por cair sobre o Sol, devido ao facto de a velocidade inicial introduzida não ser rigorosamente e à existência de erros de cálculo. Atente-se nas limitações do computador: não se observa, de facto, o planeta a cair, uma vez que ele sofre um impulso muito forte, quando se aproxima demasiado do centro de força, que causa imprecisões nos cálculos subsequentes.

No caso do movimento de um sol e dois planetas, um menor interior e outro maior exterior (por exemplo, tendo o segundo uma massa 10 vezes maior do que o primeiro e cem vezes menor do que a do sol), verifica-se que, devido à influência do planeta exterior, a órbita descrita pelo planeta interior não fecha. A primeira lei de Kepler não é então válida, tal como não o são as outras duas. Podem considerar-se para o planeta interior as mesmas condições iniciais que originavam uma circunferência no caso do planeta único, enquanto para o planeta exterior se tomam as condições iniciais (x0,y0)=(2,0) e (vx0,vy0)=(0,4), tal como se vê na Fig. 9.

Fig.9
Problema de 3 corpos: 2 planetas em torno de uma estrela.

É possível ainda averiguar o resultado de outras condições iniciais, trocar no programa as massas dos dois planetas, aumentar o número de planetas, etc.. Um trabalho de projecto consiste, por exemplo, em simular o sistema solar, em parte ou na sua totalidade.

O último problema é conhecido por problema de Euler restrito. Trata-se de uma simplificação do problema dos três corpos da mecânica celeste (que não é analiticamente solúvel). Têm-se dois sois separados por uma certa distância fixa, por exemplo 1UA, e um planeta que se move num plano sujeito à atracção dos dois centros. O planeta é influenciado pelas duas estrelas mas estas não são influenciadas pelo planeta. Embora o problema de Euler seja analiticamente solúvel, é mais fácil o seu tratamento numérico. Pode-se lançar o planeta do meio da linha que une os dois sois. Lançado verticalmente, fica eternamente a oscilar nessa linha. Lançado horizontalmente para qualquer um dos sois, cai simplesmente sobre ele. Se for lançado obliquamente, pode ficar a descrever órbitas em oito em torno dos dois sois. Experimente-se, por exemplo, lançá-lo com a velocidade inicial (2, 5) em UA/ano. Note-se que se pode variar a precisão do cálculo, evitando assim "catástrofes precoces" que são as quedas de um planeta sobre uma estrela devidas apenas a imprecisão nos cálculos (v. Fig. 10). Na natureza, os planetas "fazem os cálculos" com todo o rigor mas no mundo dos computadores todo o cuidado não é demais. Os erros computacionais podem ser fatais para os planetas...

Fig.10
Dependência da catástrofe do método de integração das equações de Newton.
Diminuindo o passo a catástrofe évitada, no problema de 3 corpos: 1 planeta em torno de duas estrelas

Finalmente, pode tentar-se, por meio de uma escolha adequada das condições iniciais, que o planeta fique com um movimento em torno apenas de um dos sois.

O computador é, de facto, um instrumento muito versátil e poderoso tanto do ponto de vista científico como do ponto de vista didáctico: serve para lançar pedras do cimo de torres sem se subir ao cimo, lançar dardos sem se ser atleta e largar planetas sem se ser omnipotente. Os seus méritos na simulação de certas situações reais ou imaginadas são tais que se lhe devem perdoar possíveis erros sistemáticos ou ocasionais.

AGRADECIMENTOS:
Aos alunos de Física Computacional dos anos de 1987-1988 e 1988-1989, que colaboraram na elaboração destes programas.

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