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O USO DAS CALCULADORAS E DOS COMPUTADORES,
E OS CALCULOS NA AULA DE MATEMATICA - 8ª parte

O texto seguinte é a continuação da tradução de uma parte da brochura "Quelques apports de l'informatique à l'enseignement des Mathématiques" editada em 1977 pela APMEP (uma associação de professores de matemática francesa).

Cálculo mental e informática (2ª parte)

g) Até aqui utilizámos ideias informáticas para mostrar sob um novo ângulo o cálculo mental. Na realidade, no ensino as coisas apresentar-se-iam antes em sentido inverso. A reflexão sobre uma prática do cálculo mental tornada previamente mais reflectida pode ser uma via para abrir os alunos à informática, compreendida no sentido lato, isto é, utilização de procedimentos algorítmicos para resolver problemas servindo-se de ferramentas diversas, o computador não passando de uma dessas ferramentas.

Para que esta via pareça razoável, é necessário levantar previamente algumas objecções.

h) O cálculo mental é actualmente depreciado tanto aos olhos dos alunos como ao dos professores. Esta palavra evoca um trabalho na cadeia de montagem, uma ausência total de actividade inteligente. Na realidade tudo isto é completamente inexacto sob condi-ção de precisar bem que o que se pede aos alunos será em geral analisar um problema de cálculo, de lhe encontrar uma solução, de a aperfeiçoar, e de se divertir a fazê-la girar para se assegurar da sua validade. É somente no caso particular de cálculos que tenham uma utilidade sufici-ente que iremos mais longe e que lhe daremos um treino permitindo uma boa eficácia (por exemplo execução das quatro operações).

i) Isto põe por outro lado uma outra questão: Diante da maré de calculadoras de bolso e outros artefactos, será necessário saber calcular à mão ou mentalmente?

A minha resposta será a seguinte: Para utilizar uma ferramenta sem nos tornarmos escravos dela, é necessário dominar bem o que ela faz. No quadro de uma ferramenta de cálculo, isso exige ser capaz de fazer sozinho quaisquer das partes do trabalho que lhe exigimos. Imaginem um utilizador de calculadoras de bolso que não saiba calcular e tenha as teclas + e ? da sua calculadora trocadas. Ele produziria com toda a tranquilidade de espírito resultados completamente aberrantes.

Juntaria uma outra razão. É bom que o homem guarde na nossa civilização técnica uma certa rusticidade. As nossas máquinas nem sempre estão à mão, por vezes têm avarias. Nas nossas casas, guardamos, ao lado do elevador, umas escadas. A vossa sobrevivência pode depender um dia de uma boa estimação numérica feita num momento em que não tereis outra ferramenta senão o vosso cérebro.

j) Mas, dir-se-á, fazemos cálculo mental na escola elementar e apresentamos a informática aos 15 anos. Entretanto os alunos terão esquecido muitas coisas. Responderei que na minha opinião, deveríamos fazer cálculo mental a todos os níveis, para ilustrar claramente certas ferramentas que acabámos de apresentar. Eis alguns exemplos:

Procura do MDC de dois números

Sejam os números 629 e 347.

Podemos formar o seu MDC por substituição repetida do maior pela diferença entre os dois. Colocaremos o maior à cabeça. O MDC é obtido quando os dois números são iguais. (podemos parar quando for evidente que um divide o outro).

Faremos a diferença algarismo a algarismo mas guardando o menor intacto.

629 - 347 . 622 - 347 . 582 - 347 . 282 - 347
347 - 282 . 345 - 282 . 265 - 282 . 65 - 282
282 - 65 . 277 - 65 . 217 - 65
217 - 65 . 212 - 65 . 152 - 65
152 - 65 . 147 - 65 . 87 - 65
87 - 65 . 82 - 65 . 22 - 65
65 - 22 . 63 - 22 . 43 - 22
43 - 22 . 41 - 22 . 21 - 22
22 - 21

Podemos parar. É claro que o único divisor comum destes dois números é 1 porque 22 = 2 x 11 e 21 = 3 x 7.

Eis outro exemplo:

Mudança de base para um número natural

Seja por exemplo:

7634 escrito em base oito a transformar em base dez.

Empregaremos o método de Hörner sob a forma:

7 - 6 - 3 - 4 - 56 - 6 - 3 - 4 - 62 - 3 - 4 - 124 - 3 - 4 - 248 - 3 - 4 - 496 - 3 - 4 - 499 - 4 - 998 - 4 - 1996 - 4 - 3992 - 4 - 3996

(para multiplicar por 8 multiplicámos três vezes por 2)

k) Terminarei indicando um certo número de observações gerais sobre as técnicas, que se poderão apresentar aos alunos seja a propósito do cálculo escrito ou mental, seja a propósito do uso de ferramentas informáticas.

Estas observações fazem parte da formação de todo o homem que quer ser eficaz porque elas são comuns a todas as técnicas. (As técnicas de cálculo são provavelmente as primeiras que o aluno precisa de utilizar de um modo regular).

Faz o que estás a fazer

Utilizas um algoritmo, isto é, um procedimento regular de cálculo. Pode ser que, em certos casos, possas reduzir o trabalho utilizando as particularidades dos dados. Por exemplo, para examinar se 842519 é múltiplo de 7 (alínea f), poderíamos suprimir 84 à esquerda pois 84 é múltiplo de 7. Mas atenção: