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O COMPUTADOR E A TEORIA DE NUMEROS (1)
J. L. Nicolas (2)

A partir de alguns exemplos, eu queria mostrar a influência dos computadores nos desenvolvimentos recentes da aritmética.

A função de Riemann (3)
Uma das realizações mais impressionantes é certamente o cálculo de 1,5 milhares de milhão de zeros da função de Riemann por H. de Riele, J. van de Lune e D. Winter. Eles têm todos parte real igual a 1/2, e o maior deles tem uma ordenada com cerca de 545 milhões. Foram precisos dois meses dum grande computador (CYBER 205) para levar a bom termo este trabalho. Este tipo de cálculo obriga a fazer matemáticas efectivas: não basta um resto que tenda para zero, é preciso uma majoração. Por outro lado uma hierarquia estabelece-se entre as diferentes fórmulas: a melhor é aquela que se calcula mais rapidamente.

O sistema criptográfico R.S.A.
Há uma dezena de anos, Rivest, Shamir e Adleman propuseram um novo sistema de transmissão secreta das mensagens baseados no facto de ser relativamente fácil construir números primos com 50 algarismos. Mas se multiplicamos dois tais números entre eles, é impossível no momento actual reencontrar os dois números primos iniciais a partir do seu produto.

O interesse por este sistema desenvolveu consideravelmente os testes de primalidade (certificando que um número é primo) e os métodos de factorização, e fazemos apelo para isso a ferramentas matemáticas que pareceriam a priori bastante afastadas dos números primos.

As curvas elípticas
Uma destas ferramentas é a teoria das curvas elípticas, isto é das funções

Estas curvas foram introduzidas para estudar o movimento do pêndulo simples, e são objecto de um grande número de trabalhos desde há dois séculos.

As formas quadráticas
Uma outra ferramenta é a teoria das formas quadráticas, isto é, das funcções de duas incógnitas x e y da forma , parentes próximas do bom velho trinómio do segundo grau . Gauss tinha introduzido uma operação sobre estas formas, e tinha dado um método de cálculo relativamente complicado de efectuar à mão. Muito mais tarde esta questão foi interpretada como um produto de ideais num anel dos inteiros dum corpo de números, e esta interpretação algébrica eclipsava o primeiro ponto de vista. Mas acontece que para efectuar esta operação com o computador, o método de Gauss é eficaz, e encontra-se assim reabilitado.

Os algoritmos probabilistas
A utilização dos computadores conduziu ao forte desenvolvimento de métodos de cálculo, quer dizer algoritmos, e é uma competição interessante encontrar por meio de operações matemáticas diversas (cálculo do máximo divisor comum, teste de primalidade, etc...) o algoritmo mais rápido. Uma nova família de algoritmos foi assim encontrada, são os algoritmos probabilistas. Por exemplo, para encontrar um divisor de n, escolhemos um número d ao acaso entre 2 e , olhamos se n é múltiplo de d. Se sim ganhámos, se não, recomeçamos com outro número d ao acaso. Este algoritmo de factorização não é muito bom, mas existem outros que são muito eficazes. Não se consegue provar que eles funcionam mas na prática eles funcionam, do mesmo modo que não se pode garantir lançando 100 vezes um dado, que o 6 sairá pelo menos uma vez, embora isso aconteça na prática.

O cálculo formal
Certos computadores realizam agora operações algébricas, cálculo de primitivas e derivadas, cálculo matricial, etc..., Isto constitui evidentemente uma ferramenta muito importamte para os engenheiros, e para os cientistas incluindo naturalmente os matemáticos. Os algoritmos para isso estão bem longe de ser evidentes. Do mesmo modo que se compreende a dificuldade de ensinar na escola primária a divisão com dois algarismos no divisor tentando fazê-la no computador, vê-se que o cálculo de integrais que se ensina nos primeiros anos da Universidade não é fácil de descascar. Existe aí um vasto campo de estudos para os matemáticos.