Page 19 - Textos de Matemática Vol 35

Introduc¸˜ao xvii onde n ´e a dimens˜ao de A como K-´algebra. O corpo L tem apenas os elementos
idempotentes 0 e 1; por isso Ln tem apenas os elementos idempotentes ("i)i=1,...,n, "i = 0, 1.
Isso implica que o espectro de L⌦K A ⇠= Ln ´e o espa¸co discreto com n elementos. Por conseguinte,
C⇣Spec(L⌦K A),L⌘⇠=C(n,L)⇠=Ln ⇠=L⌦K A
e obtemos j´a que a K-´algebra A ´e cindida por L no sentido da teoria dos an´eis.
Veremos que a mesma conclus˜ao ´e v´alida em dimens˜ao infinita.
As extens˜oes de Galois dos an´eis
Uma extens˜ao R ✓ S de an´eis chama-se extens˜ao de Galois quando 1. R ✓ S ´e uma extens˜ao pura;
2. a R-´algebra S ´e cindida pela extens˜ao R ✓ S.
Isso implica que para cada (X, ') 2 Prof/Spec(S), a R-´algebra CS (X, ') ´e cin- dida por S.
Quando K ✓ L ´e uma extens˜ao de corpos, o u´nico ideal regular maximal de L ´e {0}. Nesse caso, a extens˜ao K ✓ L vista como extens˜ao de an´eis ´e de Galois quando L = L/{0} ´e cindida por L: ´e exactamente a defini¸c˜ao de extens˜ao de Galois de corpos.
O grup´oide de Galois no caso dos an´eis
Temos agora que definir o grupo de Galois duma extens˜ao de Galois de an´eis . . . que n˜ao ´e um grupo! E´ uma estrutura mais elaborada: um grup´oide.
Um grup´oide ´e uma categoria pequena onde cada morfismo ´e invert´ıvel. Cada grupo G ´e um caso particular de grup´oide: um grup´oide G com um u´nico objecto ⇤, onde os elementos de G s˜ao os morfismos ⇤ ! ⇤. A composi¸c˜ao dos morfismos ´e a multiplicac¸˜ao de G. Por outras palavras, podemos considerar um grup´oide como um “grupo com v´arios objectos”.
Mas certamente, o grup´oide de Galois duma extens˜ao de Galois R ✓ S de an´eis tem que ser um “grup´oide topol´ogico”, porque j´a o grupo de Galois duma extens˜ao de Galois qualquer de corpos K ✓ L ´e um grupo topol´ogico. Isso significa que o conjunto dos objectos e o conjunto dos morfismos s˜ao espa¸cos topol´ogicos (mais precisamente, espac¸os profinitos) e que todas as opera¸c˜oes de grup´oide s˜ao cont´ınuas: dom´ınio, codom´ınio, identidade, composic¸˜ao, invers˜ao. Recordando-se que o functor Spec ´e contravariante,
• Spec(S) ´e o espa¸co de objectos do grup´oide de Galois; • Spec(S ⌦R S) ´e o espa¸co dos seus morfismos;