Page 21 - Textos de Matemática Vol 35

Introduc¸˜ao xix A ac¸c˜ao do grup´oide de Galois
Finalmente temos que generalizar a no¸c˜ao de “conjunto com uma ac¸c˜ao do grupo de Galois”.
Se G ´e um grupo, uma acc¸˜ao de G sobre um conjunto X ´e uma fun¸c˜ao
q X, (g, x) 7! gx ou, equivalentemente, uma func¸˜ao
q X, x 7! gx
para cada elemento g 2 G. Quando vemos os elementos g 2 G como os morfis- mos dum grup´oide G com um u´nico objecto ⇤, essa segunda f´ormula apresenta a ac¸c˜ao do grupo G como um functor
q Conj, ⇤ 7! X
do grup´oide G na categoria Conj dos conjuntos.
A generalizac¸˜ao ´e f´acil: quando G ´e um grup´oide qualquer, temos que con-
siderar a categoria dos functores (contravariantes) de G na categoria Conj dos conjuntos. Esses functores chamam-se tamb´em G-pr´e-feixes.
No caso do grup´oide topol´ogico de Galois Gal[S : R] duma extens˜ao de Galois R ✓ S de an´eis, temos de novo que considerar Gal[S : R]-pr´e-feixes topol´ogicos (mais precisamente, profinitos). Quer dizer, cada pr´e-feixe tem certamente que tomar valores na categoria Prof dos espa¸cos profinitos:
q Prof.
Mas essa condi¸c˜ao n˜ao basta: os objectos M 2 Spec(S) do grup´oide de Galois constituem um espa¸co topol´ogico e os diversos espac¸os P(M) tˆem por isso que variar de forma cont´ınua em relac¸˜ao a M. Isto significa que existe uma topologia profinita sobre a reuni˜ao disjunta
G⇥X X
G
P : Gal[S : R]
M 2 aS p e c ( S )
O Teorema de Galois dos an´eis
M 2 aS p e c ( S )
q Spec(S), x 2 P(M) 7! M
P(M)
que induz a topologia profinita de cada P(M) e ´e tal que a projecc¸˜ao
P(M)
´e cont´ınua. E, finalmente, as operac¸˜oes de pr´e-feixe tˆem que ser cont´ınuas.
Podemos concluir com o Teorema de Galois:
Se R ✓ S ´e uma extens˜ao de Galois de an´eis, a categoria das R- ´algebras cindidas por S ´e equivalente `a categoria dos pr´e-feixes pro- finitos sobre o grup´oide profinito de Galois Gal[S : R].
Este teorema cont´em pois como casos particulares os teoremas de Galois para extens˜oes de Galois de corpos, em dimens˜ao finita e em dimens˜ao infinita.