Page 67 - Textos de Matemática Vol 35

Cap´ıtulo 4
Os teoremas de Galois em dimens˜ao infinita
Conven¸c˜ao. Neste cap´ıtulo, todos os corpos s˜ao comutativos; todas as ´algebras s˜ao comutativas com unidade.
Vimos no Cap´ıtulo 2 (2.4.5) que, em dimens˜ao finita, a no¸c˜ao de ´algebra cin- dida por uma extens˜ao tem uma descri¸c˜ao independente da teoria do polin´omio m´ınimo: foi um primeiro passo importante em direcc¸˜ao a uma poss´ıvel generali- za¸c˜ao ao caso dos an´eis. Neste cap´ıtulo, fazemos um segundo passo importante em direc¸c˜ao ao caso dos an´eis: o abandono da hip´otese de dimens˜ao finita, que n˜ao existe de maneira natural no caso dos an´eis.
Neste cap´ıtulo, generalizamos ambos os teoremas de Galois dos Cap´ıtulos 1 e 2 (1.3.2 e 2.6.1) ao caso duma qualquer extens˜ao de Galois K ✓ L, sem nenhuma hip´otese de dimens˜ao. Isso necessita a introdu¸c˜ao de topologias profinitas.
4.1 Extens˜oes de Galois arbitr´arias
Seja K ✓ L uma extens˜ao de Galois de corpos. Estamos interessados nas subextens˜oes K ✓ M ✓ L onde K ✓ M ´e de dimens˜ao finita. Uma tal extens˜ao ´e tamb´em chamada uma subextens˜ao de dimens˜ao finita.
Proposi¸c˜ao 4.1.1 Seja K ✓ L uma extens˜ao de Galois de corpos. Conside- ramos um elemento l 2 L e o seu polin´omio m´ınimo p(X) 2 K[X], com ra´ızes l1,...,ln em L. Nessa situa¸ca˜o, K ✓ K(l1,...,ln) ✓ L ´e uma subextens˜ao de Galois de dimens˜ao finita.
Demonstra¸c˜ao O subcorpo K ✓ K(l1,...,ln) ✓ L gerado por l1,...,ln ´e de dimens˜ao finita sobre K e ´e tamb´em a K-sub´algebra de L gerada pelos elementos l1,...,ln (ver 2.3.7). Todo o elemento li tem p(X) como polin´omio
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