Page 69 - Textos de Matemática Vol 35

4.2. O grupo topol´ogico de Galois 47
Temos ainda que provar que essa uni˜ao ´e filtrante. Para isso, escolhemos
K✓M1 ✓L, K✓M2 ✓L
com K ✓ M1 ✓ L e K ✓ M2 ✓ L subextenso˜es de Galois de dimenso˜es finitas. A K-sub´algebra M3 ✓ L gerada por M1 e M2 ´e ainda de dimens˜ao finita sobre K. Porque K ✓ M1 ´e uma extens˜ao de Galois, o polin´omio m´ınimo de l 2 M1 decomp˜oe-se em factores lineares distintos sobre M1, ent˜ao a fortiori sobre M3; o mesmo argumento ´e va´lido para M2. Isso demonstra que M1 e M2 s˜ao cindidas pela extensa˜o K ✓ M3. Mas M3 ´e a unia˜o de M1 e M2 como K-´algebras; o Lema 2.4.7 implica que M3 ´e cindida pela extens˜ao K ✓ M3. Ent˜ao K ✓ M3 ´e uma extens˜ao de Galois (ver 2.4.3) ⇤
4.2 O grupo topol´ogico de Galois
O grupo topol´ogico de Galois duma extens˜ao K ✓ L de dimens˜ao infinita ´e o grupo de Galois usual (ver 1.1.11) munido duma topologia. No caso duma dimens˜ao finita, essa topologia ´e discreta.
Proposi¸c˜ao 4.2.1 Seja K ✓ L uma extens˜ao de Galois de corpos. Na catego- ria dos grupos,
Gal[L:K]=limMGal[M :K]
• K ✓ M ✓ L s˜ao todas as subextens˜oes de Galois de dimens˜ao finita;
onde
q Gal[M : K] ´e a restric¸˜ao; • cada projec¸c˜ao do limite ´e sobrejectiva;
• se M ✓ M0, Gal[M0 : K]
• o limite ´e cofiltrante;
• o nu´cleo da projec¸c˜ao Gal[L : K]
q Gal[M : K] ´e o subgrupo Gal[L : M].
q Gal[M : K] s˜ao as restri¸co˜es (ver 1.2.6) e constituem um cone sobre o diagrama do enunciado. Para de- monstrar que esse cone ´e um conSe limite, escolhemos uma fam´ılia compat´ıvel fM 2 Gal[M : K]. Porque L = M M ´e uma uni˜ao filtrante (ver 1.2.5), logo
Demonstrac¸˜ao As projecc¸o˜es pM : Gal[L : K]
q uma uni˜ao calculada como nos conjuntos, os K-homomorfismos fM : M q
q induzem um K-homomorfismo f : L q
K] (ver 1.1.10).
O diagrama ´e cofiltrante pela Proposic¸˜ao 4.1.3. As projec¸c˜oes s˜ao sobrejec-
tivas pela Proposi¸c˜ao 1.2.5. A restri¸c˜ao a M dum K-homomorfismo f 2 Gal[L : K] ´e a identidade de M precisamente quando f ´e um M-homomorfismo, logo quando f 2 Gal[L : M] ⇤
L L, quer dizer, um elemento f 2 Gal[L :