Trabalho 3
| Exame Nacional de Matemática A - 1ª
Fase/2010 |
| Grupo I - Questão 4 |
Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função afim f, de domínio R.
Figura 1
Seja h a função definida por h(x)=ex+f(x).
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h″, segunda derivada de h?
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h″, segunda derivada de h?
Resolução:
Na figura 1 temos representada uma função afim, como tal f(x)=mx+b,\, m<0 \text{ e } b>0. Assim sendo h(x)=e^x +mx+b.
Usando as regras de derivação, isto é, a regra da derivada da soma (u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x) temos
\begin{align*} h'(x) &= (e^x)'+ (mx+b)'\\ &= e^x +m \end{align*}
Voltando a usar a derivada da soma, isto é, (u'(x)+v'(x))'=v''(x)+v''(x) Concluímos que
\begin{align*} h''(x) &= (h'(x))'\\ &= ((e^x)'+ (mx+b)')'\\ &= (e^x+m)'\\ &= (e^x)' +(m)'\\ &= e^x \end{align*}
Atentendo a que h''(x)=e^x, e
Na figura 1 temos representada uma função afim, como tal f(x)=mx+b,\, m<0 \text{ e } b>0. Assim sendo h(x)=e^x +mx+b.
Usando as regras de derivação, isto é, a regra da derivada da soma (u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x) temos
\begin{align*} h'(x) &= (e^x)'+ (mx+b)'\\ &= e^x +m \end{align*}
Voltando a usar a derivada da soma, isto é, (u'(x)+v'(x))'=v''(x)+v''(x) Concluímos que
\begin{align*} h''(x) &= (h'(x))'\\ &= ((e^x)'+ (mx+b)')'\\ &= (e^x+m)'\\ &= (e^x)' +(m)'\\ &= e^x \end{align*}
Atentendo a que h''(x)=e^x, e
- e^x: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R^+;
- \displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x =0;
- \displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x =+\infty.