Trabalho 3
| Exame Nacional de Matemática A - 1ª
Fase/2010 |
| Grupo I - Questão 4 |
Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. $xOy$, parte do gráfico de uma função afim $f$, de domínio $\mathbb R$.
Figura 1
Seja $h$ a função definida por $h(x)=e^x
+f(x)$.
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função $h''$, segunda derivada de $h$?
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função $h''$, segunda derivada de $h$?
Resolução:
Na figura 1 temos representada uma função afim, como tal \[f(x)=mx+b,\, m<0 \text{ e } b>0.\] Assim sendo \[h(x)=e^x +mx+b. \]
Usando as regras de derivação, isto é, a regra da derivada da soma \[(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x) \] temos
\[
\begin{align*}
h'(x) &= (e^x)'+ (mx+b)'\\
&= e^x +m
\end{align*}
\]
Voltando a usar a derivada da soma, isto é, \[ (u'(x)+v'(x))'=v''(x)+v''(x) \] Concluímos que
\[
\begin{align*}
h''(x) &= (h'(x))'\\
&= ((e^x)'+ (mx+b)')'\\
&= (e^x+m)'\\
&= (e^x)' +(m)'\\
&= e^x
\end{align*}
\]
Atentendo a que $h''(x)=e^x$, e
Na figura 1 temos representada uma função afim, como tal \[f(x)=mx+b,\, m<0 \text{ e } b>0.\] Assim sendo \[h(x)=e^x +mx+b. \]
Usando as regras de derivação, isto é, a regra da derivada da soma \[(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x) \] temos
\[
\begin{align*}
h'(x) &= (e^x)'+ (mx+b)'\\
&= e^x +m
\end{align*}
\]
Voltando a usar a derivada da soma, isto é, \[ (u'(x)+v'(x))'=v''(x)+v''(x) \] Concluímos que
\[
\begin{align*}
h''(x) &= (h'(x))'\\
&= ((e^x)'+ (mx+b)')'\\
&= (e^x+m)'\\
&= (e^x)' +(m)'\\
&= e^x
\end{align*}
\]
Atentendo a que $h''(x)=e^x$, e
- $e^x: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R^+$;
- $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x =0$;
- $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x =+\infty$.