12 Ano

Questão 1, Grupo II, de Prova Escrita de Matemática A, 12º ano de escolaridade
Prova 625/1.ª Fase, 2008 (Versão 1)

        1. Em $\mathbb C$, o conjunto dos números complexos, considere $z_1=1-\sqrt{3}i$ e $z_2=8\operatorname{cis} 0$
          ($i$ designa a unidade imaginária.)

                1.1. Mostre, sem recorrer à calculadora, que $(-z_1)$ é uma raiz cúbica de $z_2$.
                1.2. No plano complexo, sejam $A$ e $B$ as imagens geométricas de $z_1$ e de $z_3=z_1\cdot i^{46}$, respetivamente.
                   Determine o comprimento do segmento $[AB]$.

1.1. Mostrar que $(-z_1)$ é raíz cúbica de $z_3$ é o mesmo que mostrar que $(-z_1)^3=z_2$. Começo por escrever $z_1$ na forma trigonometrica, isto é, $z_1=\rho \operatorname{cis}(\theta)$. Determinemos o valor de $\rho$ e $\theta$: \[\rho=|z_1|= \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2\] e \[\theta= \tan^{-1}\left(-\sqrt{3}/1 \right)=\tan^{-1}\left( \tan(-\pi/3)\right)=-\pi/3.\] Podemos reescrever $z_1$ na seguinte forma: \[z_1=2\operatorname{cis}(-\pi/3).\]
Atendendo a que $-z_1= 2\operatorname{cis}(-\pi/3+\pi)=2\operatorname{cis}(2\pi/3)$. Assim sendo podemos, finalmente, mostar que $(-z_1)$ é uma raíz cúbica de $z_2$, ou seja:

$(-z_1)^3= (2\operatorname{cis}(2\pi/3))^3=2^3 \operatorname{cis}(3\times (2\pi/3))=8\operatorname{cis}(2\pi)=8(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi))=8(1+i\times 0)=8$
$z_2=8\operatorname{cis} 0=8(\cos(0)+i\sin(0))=8(1+i\times 0)=8$

Concluo que $(-z_1)^3=z_2$.

1.2. $B$ é a imagem de $z_3$ que é dado por $z_1\cdot i^{46}$. Além disso, $i^{46}=i^{4\times 11 + 2}=i^{2}=-1$, assim sendo $z_3=-z_1$.
Determinar a distância de $z_1$ a $z_3$ é o mesmo que determinar $2 \times \rho=2 \times 2=4 $.
Usando o geogebra, podemos calcular a distância entre os pontos.
Na linha de comando inserimos:

  -> z_1 = 1 - sqrt(3)i
  -> z_3 = - z_3
  -> a = distância(z_1,z_3)

Trabalhos para descarregar

Octaedro Truncado (Sólido de Arquimedes) (informações retiradas do Wikipédia)

Gerado pelo Poly

O Octaedro truncado é um sólido de Arquimedes.
O sólido é obtido por truncatura sobre os vértices do Octaedro.
Tem 8 faces hexagonais regulares, 6 faces quadradas, 24 vértices e 36 arestas.
O Poliedro dual do Octaedro truncado é o Hexaedro tetrakis.

Imagem gerada pelo software POLY

A área $A$ e o volume $V$ de um Octaedro Truncado de lado $a$ é dado por $(6+12\sqrt{3})a^2$ e $8\sqrt{2}a^3$, respetivamente. O seu dual é o hexaedro tetrakis (sólido de Catalan). Figura abaixo.

Gerado pelo software POLY